Admète

1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim t ®0

M0 . Dans la cas où C = Cf , on a M0 (x0 , f (x0 )) et M(x, f (x)). Théorème Cf admet une tangente au point M0 si et seulement si f est dérivable en x0 . L’équation de cette tangente est : y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Démonstration. f (x) − f (x0 ) est égal au x − x0 coefficient directeur (ou pente) de la sécante (M0 M) à Cf . Donc le taux d’accroissement admet une limite ssi la sécante admet une position limite : quand elle existe, cette limite est f (x0 ) qui est donc le coefficient

t - t0 t - t0  S(t) - S(t0)  t t0 On a donc : S (t ) - S (t 0 ) 1 1   t t - t0 t0 En passant à la limite lorsque t tend vers t0, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que l'accroissement moyen S (t ) - S (t 0 ) 1 admet une limite en t0 égal à , la fonction S est donc dérivable à droite en t0. t - t0 t0 Cas 2 : t  t0. Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S est dérivable à gauche en t0. S'(t0) = Bilan : on a donc : 1 t0 Ce raisonnement

de l'infini. * f '(1)= 2 et f(1)  1 . 2 * La courbe représentative (Γ) de f admet une asymptote horizontale au voisinage de   . 1) Par une lecture graphique, répondre aux questions suivantes: a) Déterminer le sens de variation de f. b) (Γ) admet-elle un point d'inflexion? Justifier votre réponse. c) Déterminer f ' 1, et en déduire que |f '(x)|  2 , ∀ x  1 . 2 2) Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique   1 3) Soit la suite réelle définie sur IN par Uo=1 et Un+1=

par l’arrêt Narcy, c’est que le Conseil d’Etat admet qu’il ne puisse pas être délégué à cette activité des prérogatives de puissance publique, sans pour autant remettre en cause le statut de service public. B L’absence de prérogatives de puissance publique. Dans l’arrêt Ville de Melun du 20 juillet 1990, le Conseil d’Etat applique la technique des faisceaux d’indice, (en l’absence de disposition législatives) mais là ou il innove c’est qu’il admet que l’association en question même en l’absence

an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout polynôme non constant admet au moins une racine dans C . Conséquence 1 : Un polynôme de degré n a au plus n racines distinctes. Conséquence 2 : Un polynôme P ∈ K n [ X ] qui s’annule au moins n + 1 a0 , …, an sont les coefficients de P et an son coefficient dominant. K [ X

""Elle est basée sur de "savants" calculs. Pour cette méthode, on admet que l'ovulation se produit 12 à 16 jours avant les règles suivantes, que l'ovule reste fécondable 24 à 48 heures après son émission et que les spermatozoïdes peuvent survivre 3 jours après l'éjaculation : un rapport 3 jours avant l'ovulation peut donc théoriquement être fécondant. Dans un cycle de 28 jours avec une ovulation du 14° et en ajoutant un jour par sécurité, au début et à la fin de la période existe du 10° aux 17° jours

représentative, notée (C) est donnée ci-dessous. 2 x 1 Partie A Pour tout x réel, on pose g  x= x33 x 8 . 1) Etudier le comportement de g en + ∞ et – ∞. 2) Etudier le sens de variation de la fonction g. 3) Montrer que l'équation g  x =0 admet sur ℝ une unique solution notée  et donner une valeur approchée de  à 10−2 près. 4) En déduire le signe de g  x  selon les valeurs de x . Partie B 1) Etudier le comportement de f en + ∞ et – ∞. 2) a) Pour tout x réel, calculer f ' x  et vérifier

Informations Courbe représentative  Df = R  f est paire : (symétrie par rapport à l’axe des ordonnées)  Elle admet un minimum en zéro valant zéro Valeurs de x Variation de f  Df = R a >0 y Si a > 0 Valeurs de x Variation de f La courbe représentative est une droite o x a<0 y Si a < 0 Valeurs de x Variation de f o x Fonction racine : f :x √?  Df = [0 ; + ∞[  Elle admet un minimum en zéro valant zéro Valeurs de x Variation de f Fonction inverse : 1 f :x ? La courbe représentative

x 0 x lim une fonction rationnelle avec n  * et p  * . x   lim 1  cos x x 0 x 2 an xn bp x p  . 1 2 II/ Branches infinies Définition Soit f une fonction et Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On dit que Cf admet une branche infinie dès que l’une des coordonnées d’un point de Cf tend vers l’infini. C’est-à-dire lim f  x    ou lim f  x   L ou lim f  x    . x a x  x  Page 1  Continuité et limites 4 ème Math  L’essentiel du cours Nature