Angles d'Euler

La radiation des ondes de volume (P et S), elle, est donnée par l’expression : U(r, t) = (Mo, R[θ, ϕ] · f[t, r/C])/(4␲rC3) avec ϕ : densité du milieu, r : distance à la source, C : vitesse de l’onde, R (θ, ϕ) : diagramme de radiation, (θ, ϕ) : angles en coordonnées sphériques, t : temps et f(t, r/C) : forme de l’onde. L’amplitude du déplacement est proportionnelle à Mo, inversement proportionnelle à la distance source/station et au cube de la vitesse de l’onde. Lorsque les ondes et leur énergie

0) ee u T 00 = A + B = ρ T ij = −B δ ij = P δ ij ce qui donne T µν = (ρ + P)uµ uν − Pη µν (3.19) Il est facile de v´rifier que l’´quation de conservation (3.18) donne l’´quation de conservation de la masse e e e et l’´quation d’Euler a la limite des faibles vitesses12 . Nous allons voir au chapitre 6 que le tenseur e ` ´nergie-impulsion joue un rˆle fondamental dans l’´criture de l,´quation d’Einstein e o e e courbure locale de l’espace-temps = tenseur ´nergie-impusion

4-1 Contrainte normale dans la transaction ou compression simple 4-2 Allongement unitaire simple 4-3 Conditions de résistance des matériaux 4-4 Déformations simples 4-5 Flexion de poutre 4-6 Stabilité de l’équilibre élastique – flamebement (formule d’Euler) 4-7 Contrainte de contact et formule de Hertz 4-8 Caractéristiques élastiques des matériaux 4-9 Caractéristiques des sections 1 3 3 4 6 6 6 7 9 10 10 22 29 29 30 30 31 32 35 36 36 37 Chapitre 2 Axes et Arbres cannelés I – Axe 1-1 Fixation

par une surface élémentaire dS est noté dϕ. Le flux envoyé par une surface S dans l’angle solide dΩ entourant la direction Ox est noté dϕx. Nous avons donc les relations suivantes : ∫ ∫ dϕ = d 2 ϕ et ∫ ϕ = dϕ = dϕ x Ω S Ω Rappel sur les angles solides élémentaires : L’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface S est par définition l’aire de la surface intersection de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface S. L’angle solide

par une surface élémentaire dS est noté dϕ. Le flux envoyé par une surface S dans l’angle solide dΩ entourant la direction Ox est noté dϕx. Nous avons donc les relations suivantes : ∫ ∫ dϕ = d 2 ϕ et ∫ ϕ = dϕ = dϕ x Ω S Ω Rappel sur les angles solides élémentaires : L’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface S est par définition l’aire de la surface intersection de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface S. L’angle solide

de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 58 59 59 60 34. Droites et Plans affines 34.1. 34.2. 34.3. 34.4. 34.5. 34.6. Droites du plan . . . . . . . . . Plans de l’espace affine . . . . Droites de l’espace affine . . . Angles . . . . . . . . . . . . . . Aires et Volumes élémentaires Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 82 83 84 84 84 84 25. Séries numériques

d’Ellingham 5.2 Diagrammes potentiel-pH 5.3 Courbes intensité–potentiel 5.4 Corrosion 165 165 166 168 170 Annexe A : Primitives usuelles 173 VIII Table des matières Annexe B : Développements limités 175 Annexe C : Formules trigonométriques 177 1. Angles remarquables 177 2. Relations trigonométriques 178 Annexe D : Opérateurs vectoriels 181 1. Notations 2. Gradient 3. Divergence 181 182 183 4. Rotationnel 5. Laplacien 183 184 6. Relations entre les opérateurs 185 7. Théorèmes géométriques

premier avantage du e e e couchage est de diminuer la norme de la vitesse absolue en sortie. Ceci facilite le travail du diffuseur en r´duisant la part d’´nergie cin´tique dans le travail ´chang´ par la roue. e e e e e De plus, l’´quation d’Euler e ht2 − ht1 = 1 2 2 2 2 (U2 − U1 ) − (W2 − W1 ) + (V22 − V12 ) 2 , (7.6) montre que ceci ´l`ve la part relative de la force centrifuge dans l’augmentation d’enthalpie ee totale ` travers la roue. Cet effet est positif car l’effet

appel´e « logarithme n´p´rien » e e e e et not´e log. On remarquera que log(1) = 0 et que, comme exp = exp, log (x) = 1/x... c’est bien le e mˆme logarithme n´p´rien que l’on a d´couvert dans les classes de lyc´e. e e e e e Mesure des angles et arguments d’un nombre complexe. Appelons S 1 le cercle unit´ : e S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} . On a vu que l’application y → eiy est une application continue et un homomorphisme surjectif de groupes R → S 1 . On a aussi d´termin´ son noyau, le

existe k ∈ Z tel que φ − θ = 2kπ. 3. eiθ eiφ = ei(θ+φ) . 4. eiθ = e−iθ = 1/eiθ . ( )n 5. Formule de Moivre : pour tout nombre entier n ∈ Z, einθ = eiθ . et sin(θ) = e −e . 2i ( θ−φ ) i θ+φ 7. Formule d’addition : eiθ + eiφ = 2 cos 2 e 2 . 6. Formules d’Euler : cos(θ) = iθ eiθ +e−iθ 2 −iθ Exercice 2.13. — Démontrer les propriétés de eiθ énoncées ci-dessus. On peut à présent étendre la définition de ez à tous les nombres complexes z : Définition 2.6.3. — Si z est un nombre complexe quelconque, on