Angles d'Euler

1 + e−2x b).Variation et repr´ esentation graphique ♣ y = ch(x), y = sh(x) ♣ y = sh(x), y = ch(x) ♣ y = th(x), y = ch12 x = 1 − th2 x c).Trigonom´ etrique hyperbolique L’analogie avec la trigonom´etrie circulaire passe par les formules d’Euler 1 cos(x) = (ejx + e−jx ) 2 et sin(x) = 1 jx (e − e−jx ) 2j Les formules ´etablies pour les fonctions sin et cos restent valables pour les fonctions Sh et Ch en changeant cos(x) en Ch(x) et sin(x) en jSh(x). Exemples • cos2 x +

n(m + 1) équations, le polynôme u(x) est de degré n(m + ˜ 1) − 1. L’approximation de Lagrange correspond à m = 0. En choisissant n = 2 et m = 1 on construit les 4 fonctions de forme de l’élément de poutre utilisant les hypothèses cinématiques d’Euler Bernoulli. On prend x1 = 0 et x2 = L, on note u(x1 ) = u1 , u(x2 ) = u2 , u (x1 ) = θ1 et u (x2 ) = θ2 . On cherche u(x) sous la forme : ˜ u(x) = N1 (x)u1 + N2 (x)θ1 + N3 (x)u2 + N4 (x)θ2 ˜ Le polynôme u(x) étant de degré 2(1 + 1) − 1 = 3, sa

2 x→0 x 2 lim 1.2 Fonction tangente sin x π · + kπ ; k ∈ Z} par : tan x = cos x 2 Elle est impaire et π-périodique. Dérivée : 1 ∀x ∈ D (tan x) = 1 + tan2 x = · cos2 x Limite : tan x = 1. lim x→0 x Elle est définie sur D = R \ { 1.3 Angles associés cos (π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x ; tan(π − x) = −tan x cos (π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x ; tan(π + x) = tan x π π 1 π cos − x = sin x ; sin − x = cos x ; tan −x = 2 2 2 tan x π π π 1 cos + x = −sin x ; sin + x = cos x

conjugu´e de p. ces deux pˆoles p et p ✚ interviennent o`u P ✝ k ✞ est un polynˆome a` coefficients r´eels, o`u φ est un d´ephasage d´etermin´e par la situation, o`u ρ est le module du pˆole et o`u θ est l’argument du pˆole. D’apr`es les formule d’Euler on a p ✑ ρe jθ et p ✚➂✑ ρe★ jθ . Ind´ependemment de ce peut eˆ tre le polynˆome P ✝ k ✞ , l’´etude des suites telles que P ✝ k ✞ ρk sin ✝ kθ ✮ φ ✞ nous enseigne les caract´eristiques suivantes sur la contribution d’un mode complexe : – Si ◗ p

EIz Quand α tend vers z´ro, C et S tendent respectivement vers 0.5 et 4. Quand α tend vers π, le e d´terminant de la matrice de rigidit´ [K] tend vers z´ro : les rotations θ1z et θ2z tendent vers l’infini. e e e On retrouve ici la charge critique d’Euler : PC = π 2 EIz L2 8 RDM – Ossatures Plus g´n´ralement, pour une structure quelconque, les ´quations d’´quilibre s’´crivent : e e e e e {F } = ([K0 ] + [KN L ]) {U } o` [K0 ] est la matrice de rigidit´ ordinaire calcul´e dans sa configuration

au plan usuel muni d’un repère orthonormal direct. Interpréter géométriquement le module d’un nombre complexe. Interpréter géométriquement |z − a| avec a, z ∈ C. b) Ensemble U des nombres complexes de module 1 Définition de eiθ où θ ∈ R, formules d’Euler. Description des éléments de U. Relation eia eib = ei(a+b) . Formule de Moivre. Factoriser 1 ± eiθ . Linéariser et factoriser des expressions trigonométriques. Retrouver les expressions de cos(nt ) et sin(nt ) en fonction de cos(t ) et sin(t ) pour

Grecs anciens : études des nombres figurés. L'adoption de la numération de position à base dix fait réaliser d'immenses progrès, même si : La base 2 est universelle pour les ordinateurs La base 12 subsiste pour les heures La base 60 pour les angles et les durées en minutes et secondes Exemples d'études arithmétiques : Test de primalité Nombres parfaits Test de parité Somme de puissances Calcul de la factorielle Calcul de PGCD et PPCM, etc. II- Calcul du PGCD (solution récursive) II

Xcas au lycée Renée De Graeve & Bernard Parisse Université de Grenoble I Xcas, au départ un logiciel de calcul formel, permet aujourd’hui de faire de l’algorithmique, de la géométrie interactive et analytique dans le plan et l’espace et propose un tableur formel, d’où son nom de “couteau suisse des mathématiques”. Il s’agit d’un logiciel libre, disponible sous Windows, Mac OS et Linux, la version à jour se récupère en tapant xcas sur un moteur de recherche ou directement depuis le site de Xcas

on considère l’application fa : K ∗ → K ∗ , x → xa (remarquer que fa est un morphisme de groupe). On note Na = Card (Ker fa ). 1. Expliquer pourquoi Na a. 2. Montrer que Im( fa ) ⊂ Ker fb . En déduire que Na = a et Nb = b. 3. Soit ϕ l’indicateur d’Euler. Montrer par récurrence sur a, diviseur de n − 1, que le nombre d’éléments de K ∗ d’ordre a est égal à ϕ(a) (ceci prouve que K ∗ est cyclique). [003028] Exercice 3029 Théorème de Wedderburn On dit que K est un corps gauche si (K, +, ×) est un anneau

UTILISÉS EN MÉCANIQUE TERRESTRE 204 SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS © Hachette Livre – H Prépa / Mécanique, 1re année, MPSI-PCSI-PTSI – La photocopie non autorisée est un délit. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE 225 ANNEXE : LA MÉTHODE D’EULER PROBLÈME : MOUVEMENT À TROIS CORPS 263 INDEX 4 259 269 Cinématique ■ Repérage d’un événement dans l’espace et dans le temps. © Hachette Livre – H Prépa / Mécanique, 1re année, MPSI-PCSI-PTSI – La photocopie non autorisée est