Automorphisme

et χ f sont premiers entre eux, d’après le théorème de B ÉZOUT, il existe deux polynômes U et V tels que UP +V χ f = 1. En prenant la valeur en f et puisque que χ f ( f ) = 0, on obtient P( f ) ◦U( f ) = U( f ) ◦ P( f ) = Id. P( f ) est donc un automorphisme de E. Réciproquement, si P et χ f ne sont pas premiers entre eux, P et χ f ont une racine commune λ dans C. Soit A est la matrice de f dans une base donnée (si K n’est pas C l’utilisation de la matrice est indispensable). On a P(A) = (A − λ I)Q(A)

◦ des endomorphismes. L’unit´ est l’application lin´aire identit´ not´e ici i : e e e e i: Rn [X] → Rn [X] P →P L’´l´ment nilpotent consid´r´ est la d´rivation not´e ici d : ee ee e e d: Rn [X] → P → Rn [X] P 1. Montrer que i + d est un automorphisme de Rn [X]. 2. Pour tout entier n on pose : Bn = (i + d)−(n+1) (X n ) et on d´finit la fonction βn par : e ∀x ∈ R : βn (x) = Bn (x)ex a. Pr´ciser, ` l’aide d’une puissance de i + d la d´riv´e m i`me de βn pour un entier e a e e e naturel m quelconque

Ü  ×Ø ÙÒ ÖÓÙÔ º Ê ·µ sur ´Ê µ. L’´ el´ ement neutre de ´Ê µ est donc ¼, et le sym´ etrique de Ü est  Ü. de groupe de ´ Ê (Automorphismes int´erieurs) ¦ Ð ℄ ¿ ½ Ü  ½ ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ ¨ × ÙØÓÑÓÖÔ ×Ñ × est une bijection et que sa bijection r´ eci- ¾ 2) Si , on v´ erifie sans peine que ´Üݵ ´Üµ ´Ýµ, donc que c’est un morphisme, et donc un automorphisme de groupe. º Æ 3) De mˆ eme, groupe de dans ÙØ . ¾ ¾ ´ µ ÙÒ ÖÓÙÔ Ò ³ÓÖ Ö Ò ¾ Æ £ ËÓ Ø ÙÒ ÒØ Ö ÔÖ Ñ Ö Ú Òº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ

décomposer en un produit de cycles à support disjoint. Curiosités – Les groupes de Galois, les groupes de Lie, les sous-groupes de Sylow, les groupes simples (i.e. ne possédant pas de sous-groupe distingué non trivial), le groupe de Klein, les automorphismes intérieurs, les actions de groupes, les produits semi-directs, les sous-groupes distingués, l’équation des classes, la formule de Burnside, les groupes libres... – Le théorème de Cayley : tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe

démontrer qu’elle est libre ou génératrice. Notation rg(u 1 , . . . , u p ). C - Applications linéaires et représentations matricielles C ONTENUS C APACITÉS & COMMENTAIRES a) Généralités Applications linéaires, endomorphismes, isomorphismes et automorphismes. Opérations sur les applications linéaires : combinaisons linéaires et composées. Règles de calcul. Réciproque d’un isomorphisme, composée d’isomorphismes. Image directe, image réciproque d’un sous-espace vectoriel. Image et noyau. L’image par

– L’application T est injective si et seulement si KerT = {0E }. – L’application T est surjective si et seulement si ImT = F . – L’application T est bijective si et seulement si KerT = {0E } et ImT = F . On parle alors d’ isomorphisme, et d’ automorphisme si F = E. Université Aix-Marseille 1 PEIP-L1, 27 avril 2010 , 87 Algèbre linéaire, Maths générales II 5.1. Définitions et exemples 5. Applications linéaires Démonstration : – L’application T est injective si et seulement si pour tous

corps ni est commutatif. sont de corps u de K sur K , c'est-à-dire une application bijective u de K sur K ∀(x, y) ∈ K2 , Un K et K isomorphes s'il existe un isomorphisme vériant et u(x + y) = u(x) + u(y) u(xy) = u(x)u(y). automorphisme d'un corps K est un isomorphisme de K sur lui-même. Lemme 5.2 Soit K un corps ni et L un sous-corps de K. Alors K est un espace vectoriel de dimension nie n sur L, ce qui implique que K possède (#L)n éléments. vectoriel est nécessairement de

on obtient ∀a, b ∈ K, (a + b)p = ap + bp On en déduit que l’application x → xp est un endomorphisme du corps K. De plus celui-ci est injectif car xp = 0K ⇒ x = 0K et, si l’on sait que K est un corps fini, on peut ajouter que x → xp est un automorphisme [connu comme étant l’automorphisme de Frobenius]. x∈K ,x=x−1 x∈K Or x = x−1 équivaut à x2 = 1 et a pour solutions 1 et −1. Que celles-ci soient ou non distinctes, on obtient x = −1 x∈K Exercice 39 : [énoncé] Soit I un idéal d’un

K est linéaire, ou est un morphisme, ou encore un homomorphisme ⇔ f f f f : : : : f (λ.u + µ.v) = λ. f (u) + µ. f (v) ∀λ,µ ∈ K E → E, linéaire est un endomorphisme E → F, linéaire bijective est un isomorphisme E → E, linéaire bijective est un automorphisme E → K, linéaire est une forme linéaire. K est ici considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. ∀u,v ∈ E Théorème : L( E,F ) et L( E) sont des espaces vectoriels sur K. Si E et F sont de dimension finies n et p, la dimension de L( E,F

dim F Définition D.6 • Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans lui-même. On note (E) l’ensemble des endomorphismes de E. • Un isomorphisme est une application linéaire bijective. • Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E. • Une forme linéaire est une application linéaire à valeurs dans . Exemple L’application f : 3 → définie par f (x, y, z) = x + 2 y − z est une forme linéaire de • f est bien à valeurs dans 3 .