Automorphisme

ESPACES VECTORIELS, APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES 3.2 – – – – Applications linéaires 3.2.1 Rappels f ∈ L(E, F ), f (0E ) = 0F , f (λ1 x1 + · · · + λn xn ) = . . . , applications IdE : x → x et ΘE : x → 0. Endomorphisme, isomorphisme, automorphismes, formes linéaires ; espace L(E), ensemble GL(E). Noyau et image, applications linéaires injectives/surjectives/bijectives, lien avec les bases, hyperplan. Rang d’une application linéaire, théorème du rang, dimension d’un hyperplan, cas d’un endomorphisme

 ∀u, v ∈ E   encore un homomorphisme ⇔  f (λ.u + µ.v) = λ.f (u) + µ.f (v)   ∀λ, µ ∈ f : E → F, linéaire bijective est un isomorphisme f : E → E, linéaire est un endomorphisme f : E → , linéaire f : E → E, linéaire bijective est un automorphisme est une forme linéaire. est un espace vectoriel sur lui-même. Théorème : L (E, F) et L (E) sont des espaces vectoriels sur . Si E et F sont de dimension finies n et p, la dimension de L (E, F) est n × p et celle de L (E) est n2 10.2

diamètre. Quel est mon tout ? Charade 2 Mon premier est un déterminant. Mon second est un prénom féminin américain. Mon troisième est une conjonction de coordination. Mon quatrième est le groupe de Galois de C sur R (c’est-à-dire le groupe des automorphismes du corps C laissant R fixe). Mon cinquième est le noyau. Mon tout est ce qui s’est passé sur les côtes normandes en 1944. Quel est mon tout ? 4.4.2 Les réponses Charade 1 Le premier est « un castor sans chaise », le second est « un castor

a. Calculer det A' , A' = M ( f / B' , B' ) b. En déduire det A , A = M ( f / B, B) c. Retrouver det A par un calcul direct du déterminant. 0,5 pt 0,5 pt 1 pt 4) On prend a = b et c = −2a a. Déterminer le rang de f . b. f est-il un automorphisme ? 1 pt 0,5 pt 5) On prend a = b = −1 / 2 et c = 1 a. Déterminer une base de Ker ( f ) et une base de Im f . b. En déduire le rang de f . ( a, b, c ∈ IR * ) 2 pts 0,5 pt Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004

les antécédents de z par φ sont les couples (h0t,t −1 k0 ) avec t ∈ H ∩ K. 3. En déduire que : Card (HK)Card (H ∩ K) = Card (H)Card (K). 4. Montrer que : (HK est un sous-groupe de G) ⇐⇒ (HK ⊂ KH) ⇐⇒ (HK = KH). [002976] Exercice 2977 Groupe des automorphismes Soit G un groupe multiplicatif. On note Aut(G) l’ensemble des isomorphismes φ : G → G. 1. Montrer que Aut(G) est un groupe pour la loi ◦. 2. Déterminer Aut(Z). 3. Pour a ∈ G on note φa : G → G, x → axa−1 Montrer que φa ∈ Aut(G), et que l’application

prend a = b a. Calculer det A' , A' = M ( f / B' , B' ) b. En déduire det A , A = M ( f / B, B) c. Retrouver det A par un calcul direct du déterminant. 0,5 pt 0,5 pt 1 pt 4) On prend a = b et c = −2a a. Déterminer le rang de f . b. f est-il un automorphisme ? 1 pt 0,5 pt 5) On prend a = b = −1 / 2 et c = 1 a. Déterminer une base de Ker ( f ) et une base de Im f . b. En déduire le rang de f . 2 pts 0,5 pt Professeure Salma DASSER ( a, b, c ∈ IR * ) Session Automne-hiver 2004 [13] [S1, Module

exercices • Définitions de : loi interne, commutativité, associativité, neutre, élément symétrisable, symétrique, distributivité • Définitions de : groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, endomorphisme d'un groupe, isomorphisme de groupes, automorphisme d'un groupe • Définitions de : anneau, anneau intègre, corps, sous-corps • Définitions de : image directe, image réciproque d'une partie par une application • Les exemples usuels : anneau Z, corps Q, R, C, pour les lois usuelles. © Dunod. La

exercices • Définitions de : loi interne, commutativité, associativité, neutre, élément symétrisable, symétrique, distributivité • Définitions de : groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, endomorphisme d'un groupe, isomorphisme de groupes, automorphisme d'un groupe • Définitions de : anneau, sous-anneau, anneau intègre, corps, sous-corps • Définitions de : image directe, image réciproque d'une partie par une application • Les exemples usuels : anneau Z, corps Q, R, C, pour les lois usuelles.

antécédents de z par φ sont les couples (h0 t,t −1 k0 ) avec t ∈ H ∩ K. 3. En déduire que : Card (HK)Card (H ∩ K) = Card (H)Card (K). 4. Montrer que : (HK est un sous-groupe de G) ⇐⇒ (HK ⊂ KH) ⇐⇒ (HK = KH). [002976] Exercice 2977 Groupe des automorphismes Soit G un groupe multiplicatif. On note Aut(G) l’ensemble des isomorphismes φ : G → G. 1. Montrer que Aut(G) est un groupe pour la loi ◦. 2. Déterminer Aut(Z). 3. Pour a ∈ G on note φa : G → G, x → axa−1 Montrer que φa ∈ Aut(G), et que l’application

Image et image réciproque d’un sous espace vectoriel 15.4 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . 15.4.1 Addition et multiplication par les réels . . . . 15.4.2 Composition des applications linéaires . . . . 15.5 Isomorphismes et automorphismes . . . . . . . . . . 15.6 Lien avec les familles de vecteurs . . . . . . . . . . 15.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Étude locale des fonctions 16.1 Introduction