Automorphisme

est la projection sur F parallèlement à G, alors sF = 2pF − IdE . 2. Soit u une symétrie de E. Alors, a) E = ker(u − IdE ) ⊕ ker(u + IdE ). b) u est la symétrie vectorielle par rapport à ker(u − IdE ) parallélement à ker(u + IdE ). c) u est un automorphisme de E. Proposition 21 Soient E un espace affine, F un sous-espace affine de E de direction F et G un supplémentaire de F dans E. Alors la symétrie f par rapport à F parallélement à G est une application affine dont l’application linéaire associée

r´ciproque g. e Vocabulaire. Une application lin´aire de E dans K s’appelle une forme lin´aire. e e Une application lin´aire de E dans lui-mˆme s’appelle un endomorphisme d’espace vectoriel de e e E. Un endomorphisme bijectif de E s’appelle un automorphisme de E. 4.2. IMAGE ET NOYAU. 37 4.2 Image et noyau. Rappel. Soit f : E → F une application entre deux ensembles E et F. Si G est une partie de E, on appelle image de G l’ensemble des ´l´ments de F de la forme f (x) o` x ∈ G. On note

(on dit que u est antisymétrique lorsque u ∗ = −u). 1) Montrer que Id E +u est un automorphisme de E. 2) Montrer que v = (Id E −u) ◦ (Id E +u)−1 est un élément de O + (E), et que −1 n’est pas valeur propre de v. 3) Soit v ∈ O + (E) n’admettant pas −1 comme valeur propre. Montrer qu’il existe un endomorphisme antisymétrique u tel que v = (Id E −u)◦(Id E +u)−1 . 1) Pour montrer que w = Id E +u est un automorphisme de E, il suffit de prouver que w est injectif. Soit x ∈ Ker w. On a w(x) = x + u(x),

Pour tout r´el λ non nul, on note fλ l’application de E dans E d´finie par : e e → → → → → → ∀− ∈ E : fλ (− ) = − + λ < − , − > − x x x x u u 1. Montrer que fλ est un endomorphisme de E. 2. a. D´terminer la valeur λ0 de λ pour laquelle fλ est un automorphisme orthogonal autre e que IdE . b. Caract´riser fλ0 par sa matrice dans la base B. e c. D´terminer l’ensemble des vecteurs de E invariants par fλ0 . Donner alors la nature e de fλ0 en pr´cisant ses ´l´ments g´om´triques. e ee e e Partie II Soit g

cette façon de parler. On dit alors : – Un isomorphisme est un morphisme f : M → N tel qu’il existe un morphisme f −1 : N → M avec f ◦ f −1 = idN et f −1 ◦ f = idM . (Dans le cas des espaces topologiques on les appelle aussi homéomorphismes.) – Un automorphisme est un isomorphisme f : M → M d’un objet sur lui-même. Par exemple, les espaces métriques, eux aussi, forment une catégorie. Leurs morphismes sont les applications qui préservent la distance, appelées aussi des isométries : d (f (x), f (y)) = d(x

applications lin´aires est une application lin´aire. e e e 2. Si une application f de E dans F est bijective, f −1 est une application lin´aire de F dans E. On dit que f est un isomorphisme de E sur F. e 3. Un isomorphisme de E sur E est appel´ automorphisme . e Th´or`me 5.1.3 e e Soient E et F deux espaces vectoriels sur R et f une application de E dans F. Alors f (E) est un sous espace vectoriel de F et le noyau N = {x ∈ E /f (x) = 0F } est un sous espace vectoriel. Notation: N = kerf = {x

m, n are arbitrary; and (m, 2, 2) where m is arbitrary. (ii) If G is a finite group of order n, prove that the number of automorphisms of G is ≤ nlog n/ log 2 (show that there exists a system of generators {a1 , . . . , am } of G such that ai does not belong to the subgroup generated by a1 , a2 , . . . , ai−1 for 2 ≤ i ≤ m; deduce that 2m ≤ n, and that the number of automorphisms of G is ≤ nm ). (i) p 5 The computer The distinctive characteristic of the Analytical Engine, (from the earlier Difference

de E sur F est appelée isomorphisme d’espaces vectoriels. Les deux espaces vectoriels E et F sont alors dits isomorphes. – Un endomorphisme bijectif de E (c’est-à-dire une application linéaire bijective de E dans E) est appelé automorphisme de E. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E). Proposition 120. Linéarité de l’application réciproque d’un isomorphisme Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Si f est un isomorphisme de E sur F, alors f −1 est un isomorphisme de F sur E. Démonstration

contrôle automatique de gain, ~ weight batcher (chim., instr.), doseuse pondérale automation n. (électr.), automatisation f. automatism n. (électr., méca.), automatisme m. automaton n. (électr.), automate m., pl. automata, automatons automorphism n. (math.), automorphisme m. auto-oxidation n. (chim.), auto-oxydation f. autopsy (to) v. t. (méd.), autopsier autoradiograph n. (méd.), scintigraphie f. (image) autoradiography n. (méd.), scintigraphie f. (technique) autorange adj. (instr.), à changement automatique

contrôle automatique de gain, ~ weight batcher (chim., instr.), doseuse pondérale automation n. (électr.), automatisation f. automatism n. (électr., méca.), automatisme m. automaton n. (électr.), automate m., pl. automata, automatons automorphism n. (math.), automorphisme m. auto-oxidation n. (chim.), auto-oxydation f. autopsy (to) v. t. (méd.), autopsier autoradiograph n. (méd.), scintigraphie f. (image) autoradiography n. (méd.), scintigraphie f. (technique) autorange adj. (instr.), à changement automatique