Bijection

4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim t ®0 sin (t ) = 1. Soit n Î . t t ®0 Étudier la limite suivante : lim sin (nt ) sin(t

: p pn = k =1 k C p S ( n, k ) D'après la formule d'inversion de Pascal, on déduit : p S(n, p) = k =1 k ( −1) p − k C p k n toute bijection de X n'ayant aucun point fixe) £ £ Soit Bk(X) l'ensemble des bijections de X ayant k points fixes (pour 0 On a : n Card(Bk(X)) = Cn − k dn−k k n) n En effet, une bijection de X ayant k points fixes dérange n − k éléments de X. Or, il y a Cn − k façons de choisir les n − k éléments dérangés et dn−k dérangements de l'ensemble

d’une dette contractée au près d’une institution financière internationale en des milliers de dollars U S. Calculer puis interpréter : lim┬(x→0)⁡〖f(x) et lim┬(x⟶5)⁡〖f(x)〗 〗 Calculer puis étudier les signes de f’(x) Montrer que f admet une bijection sur ├]0 ;5] que l’on précisera Etablir le tableau de variation de f puis en déduire le sen de la dette contractée Tracer, dans le plant muni du repère (O, I, J), la courbe de f. Unité graphique : 2 cm pour une année et 1 cm pour 150 000$. II-

ex 1 + ex 1) Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle que l’on précisera 2) Prouver que f−1 est dérivable sur son domaine de définition, et calculer ( f−1 )′ (1 2 ) 3) Déterminer l’expression de f−1 et retrouver les résultats de la question 2) Exercice no 8 (entrainement) On considère la fonction définie sur ]0; +∞[ par f(x) = x2 + ln(x). 1) Montrer que f réalise une bijection de ]0; +∞[ sur un ensemble à préciser. 2) Montrer que sa bijection réciproque g est dérivable sur son ensemble

Opérations sur les ensembles . . . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Images et antécédents . . . . . . . . . 2.2.3 Restriction, prolongement, composition 2.2.4 Injections, surjections et bijections . . 2.3 . . . . . 2.3.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ensemble infinis et dénombrabilité . . Ensembles Applications Cardinal d’un ensemble 3 Relations 3.1 3.2 3.3 3.4 5 . . . . . . . . . . .

activités • Description chronologique de l’habillement (se déshabiller, habiller) • Idem avec les différentes actions réalisées au lever. • Les dates d’anniversaire. • Les saisons • L’ordre des repas. Les nombres • Bijection : correspondance terme à terme. Un élément dans son ensemble d’arrivée a son image dans son ensemble de départ. • Equipotent : 2 ensembles sont équipotents si et seulement si ils

f ) = (g ◦ f ).f Fonctions réciproques et leurs dérivées Définition Soit f une fonction réelle et E , F 2 sous-ensembles de R. On dit que f est une bijection de E sur F si E ⊂ R, F = f (E ) et tout y ∈ F admet un unique antécédent x ∈ E , i.e. f (x) = y . Dans ce cas, la fonction g définie sur F telle que g (y ) = x est dite bijection réciproque de f de F sur E . On note f (−1) : R → R cette fonction réciproque de f . NB : on a F ⊂ Df (−1) et : ∀x ∈ E , ∀y ∈ F , y = f (−1) (x) ssi x =

(n)  2n  1 si n  0 est bijective.  Encore des exemples !!! 5 Algèbre 1 Expression de l’application, l’injection, la surjection et de la bijection à l’aide des symboles :  Une application : ? = ? ⟹ ? ? = ? ? .  Une injection : ? ? = ? ? ⟹ ? = ? ?? ? ≠ ? ⟹ ? ? ≠ ? ? .  Une surjection : ∀??? ∃? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? .  Une bijection : ∀??? ∃! ? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? . Théorème : Une application est bijective ssi elle admet une réciproque. Pour la démonstration on utilise les deux

ensemble E. Image directe, image réciproque d'applications. si x ∈ A si x ∈ E \ A Notations f(A) et f−1 (B). Composition. Injection, surjection, bijection. Application réciproque d'une bijection. Composées d'injections, de surjections, de bijections. Réciproque de la composée de bijections. L'application réciproque d'une bijection f est notée f−1 . La notation f−1 (B) est cohérente. 2. Calculs algébriques dans R Puissances entières d'un réel. Les élves doivent savoir opérer

Théorème de la bijection : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ], alors : • On dit que f réalise une bijection de [ a ; b ] sur [ f(a) ; f(b)] si f est croissante, et sur [ f(b) ; f(a) ] si f est décroissante, • Pour tout réel k de l’intervalle d’arrivée, l’équation f(x) = k admet une unique solution x0 dans l’intervalle [ a ; b ]. Exemple : La fonction f définie sur [ – 2 ; 3 ] par f(x) = x3 est strictement croissante Elle réalise une bijection sur [ f(–2)