Bijection

Une d´efinition pr´ecise le sens math´ematique d’un mot ; par exemple : D´ efinition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆeme priv´e d’un ´element. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. On voit tout de suite deux difficult´es avec cet exemple : d’abord il faut avoir d´efini “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆetre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre suivant) pour que la d´efinition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm´ediat que la d´efinition donn´ee

applications 12 D´monstration. D´j` h ◦ (g ◦ f ) et (h ◦ g) ◦ f sont des applications de E dans H. De plus, pour tout x ∈ E, h ◦ (g ◦ f )(x) = e ea h(g ◦ f (x)) = h(g(f (x))) et (h ◦ g) ◦ f (x) = h ◦ g(f (x)) = h(g(f (x))). Injections, Surjections, Bijections. 3.10. ´ Etant donn´ une application, tout ´l´ment de l’ensemble de d´part a une image et une seule ; mais, en ce qui e ee e concerne les ant´c´dents d’un ´l´ment de l’ensemble d’arriv´e tout est possible : il peut ne pas avoir d’ant´c´dent

+ b Application à la représentation graphique des fonctions polynômes du second degré et de quelques fonctions homographiques. 2) Eléments de symétrie de la courbe représentative d'une fonction 3) Représentation graphique de la réciproque d'une bijection • • Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 41 Contenus Commentaires CompŽtences exigibles II. LIMITES On ne fera pas de théorie. Les explications resteront à un niveau intuitif. L'introduction

sous - ensemble E de O tel que O = [x2E Jx , et 8x; y 2 E tels que x 6= y on a Jx \ Jy = ;. Pour tout x 2 E, …xons un élément qx de Jx \ Q. Alors, pour x; y 2 E tels que x 6= y, on a qx 6= qy puisque Jx \ Jy = ;. Donc l’ application x 7! qx est une bijection de E sur une partie de Q. Comme Q est dénombrable, alors E l’ aussi. Il existe f : E ! N est une injection. Prenons ]ck ; dk [= ;; 8k 2 Nnf (E), et ck := af 1 (k) ; dk := bf 1 (k) ; 8k 2 f (E). O = [k2N ]ck ; dk [ avec les ]ck ; dk [ disjoints deux

segment. D = [1 ;3] et f est définie par 8 2.5.1. Cas où la fonction f est continue et strictement monotone sur I : Théorème fondamental : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, - f est une bijection de I sur l’intervalle f(I) - f-1 est une bijection de f(I) sur I, continue et variant dans le même sens que f, - dans un repère orthonormé, les représentations graphiques de f et f-1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère. Illustration graphique

lorsque t varie dans Dγu l’arc est parcouru une fois et une seule dans sa totalité. PanaMaths Janvier 2002 Domaine d’étude Notion de symétrie de la courbe. On appelle « domaine d’étude » tout sous-ensemble DγE de Dγu tel qu’il existe une bijection ϕ entre DγE et Dγu − DγE . En notant ϕ ( t ) = t ' , on a les cas de figure classiques suivants : Relations entre x ( t ) , y ( t ) , x ( t' ) et y ( t' ) Propriété géométrique de la courbe représentative de l’arc γ Symétrie axiale par rapport

avoir une progression naturelle et simple avec des connaissances bien développées. Peu de connaissance en rapport avec le sujet et bien développé mieux que de l’étalage. Chaque élément abstrait trouve son image dans un élément sensible. Il y a une bijection. Le mythe a une dimension poétique la ou l’allégorie a une dimension didactique. Toujours trouver un contre exemple pour pouvoir bien marquer l’opposition !!! Platon « il faut chasser les poètes de la cité et ne garder que les géomètres ».

∈ R, −1 ≤ sin(x) ≤ 1 =⇒ 1 ≤ 2 + sin(x) ≤ 3 =⇒ 0 < f (x). Donc f est strictement croissante sur R. π = π > 0. 2 π Ainsi f étant continue et strictement croissante sur 0; , d’après le théorème des valeurs intermé2 π diaires (le théorème de bijection en fait), ∃!α ∈ 0; tel que f (α) = 0. 2 On obtient alors : De plus f (0) = −1 < 0 et f x −π 2 + f (x) π 2 α 0 + + π 0 f −1 −π f (x) (−π) f − (−1) − 0 + (π) π2 −1 4 0 f (α) Sur

e Une d´finition pr´cise le sens math´matique d’un mot ; par exemple : e e e D´finition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆme priv´ d’un e e e ´lement. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. e On voit tout de suite deux difficult´s avec cet exemple : d’abord il faut avoir d´fini e e “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆtre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre e suivant) pour que la d´finition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm´diat que la d´finition e e e donn´e

composée de deux fonctions monotones de même nature est croissante et que la composée de deux fonctions monotones de nature différente est décroissante. Enfin, on rappelle alors que si f : D → E et g : E → D sont deux bijections, alors f ◦ g : E → E et g ◦ f : D → D sont des bijections, et que (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 Définition 6. Si f et g sont deux fonctions ayant le même ensemble de définition et a ∈ R, alors on note : ◦ f + g la fonction définie par ∀x ∈ D(f ), (f