Bijection

définie par ( ) ( ) 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe d’équivalence ( ̇ ) du couple ( ). 3. On désigne par l’ensemble quotient pour cette relation. Montrer que l’application [ [ ( ̇ ) Est bien définie et que c’est une bijection. Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Soient et deux ensembles et ( ) , une application. On définit une relation ( ) ( ) sur en posant, pour tout 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe ̇ de l’élément

THÉORÈME DE CAYLEY Théorème Tout groupe G, d'ordre n, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn. Démonstration : Nous allons montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Bij (G) (groupe des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective

que f’(x) =  pour x > 0 c°) Dresser le tableau de variation de f. 4°) montrer que f ()= -  5°) tracer (cf) dans un repère orthonormé d’unité 2cm et prendre  Soit h la restriction de f sur I = a°) Montrer que h est une bijection de I vers J à déterminer b°) Etudier la dérivabilité de h-1 sur J c°) Tracer la courbe de h-1 dans le même repère d°) Déterminer h-1 (x)

́efinition pr ́ecise le sens math ́ematique d’un mot ; par exemple : D ́efinition: Un ensemble E est fini si il n’est pas en bijection avec lui-mˆeme priv ́e d’un ́element. Un ensemble est infini si il n’est pas fini. On voit tout de suite deux difficult ́es avec cet exemple : d’abord il faut avoir d ́efini “ensemble” (ce que nous ne ferons pas) et “ˆetre en bijection” (ce qu’on fera au chapitre suivant) pour que la d ́efinition ait un sens ; ensuite il n’est pas imm ́ediat que la d ́efinition

fonction définie sur par : . On a représenté dans la feuille annexe la courbe 1.a. Par une lecture graphique : prouver que que l’on précisera. b. Tracer la courbe c. Expliciter de pour tout de dans le repère orthonormé est une bijection de Riadh ZAGHOUANI définie sur sur un intervalle dans le même repère. . 2. Déterminer puis tracer l’équation de la tangente à la courbe 3. Soit la fonction . par . au point d’abscisse . L.S.Ahmed NOUREDDINE SOUSSE

A → B est bijective si elle est ` la fois injective e a et surjective. Cela revient ` dire que tout ´l´ment de B a un ant´c´dent et un seul par f . Si f est bijective, a ee e e l’ant´c´dent d’un ´l´ment b ∈ B est not´ f −1 (b). Ceci construit la bijection r´ciproque f −1 de f . e e ee e e −1 = Id : pour tout b ∈ B, f −1 (b) est un ant´c´dent de b par f , donc f (f −1 (b)) = b. On a f ◦ f e e B On a f −1 ◦ f = IdA : pour tout a ∈ A, f −1 (f (a)) est l’unique ant´c´dent de f (a) par f ; comme e e −1

éléments pris dans un ensemble à n éléments. De même [pic], ce qui achève la démonstration 2° méthode : Plus subtil : à toute partie A de E à n éléments, on associe son complémentaires qui a n-p éléments. Cette « association » est une bijection et il y a donc autant de parties de E à p éléments que de parties à n-p éléments. ❖ Relation de Pascal :[pic] 1° méthode : [pic] : il s’agit du nombre d’ensembles à p éléments pris dans un ensemble à n éléments. De même [pic]

entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014 Enoncés Bijection continue 4 Exercice 42 [ 01791 ] [correction] Soit f : R → R une fonction continue en 0 et en 1 telle que Exercice 37 [ 01816 ] [correction] Soit f : R → R définie par ∀x ∈ R, f (x) = f (x2 ) f (x) = x 1 + |x| Montrer que f est constante. a) Montrer que f réalise une bijection de R vers ]−1, 1[. b) Déterminer, pour y ∈ ]−1, 1[ une expression de f −1 (y) analogue à celle de f (x)

Exercices de math´matiques MPSI et PCSI e par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des mati`res e 1 G´n´ralit´s sur les fonctions e e e 2 Continuit´ e 3 D´rivabilit´ e e 4 Fonctions de classes Ck 5 Bijections 6 D´veloppements limit´s e e 7 Groupes, anneaux, corps. 8 Polynˆmes o 9 Fractions rationnelles 10 Arithm´tique e 11 Nombres complexes. 12 Suites 13 Suites un+1 = f (un ) 14 Ensembles 15 Espaces vectoriels et applications lin´aires e 16 Familles g´n´ratrices, libres, bases. e e

Etude de la fonction exponentielle : 1) Sens de variations : Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur . Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante. Soient u et v ( IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) . Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb ( a ey ( x > y ➢ ex = ey ( x = y ➢ ex > 1 ( x > 0 ➢ ex < 1 ( x < 0 2) Etude des limites : Théorème : • [pic] • [pic] Démonstration :