Bijection

strictement décroissante sur [0 ; 1]. On a f(0) = 1[pic]1 = 1 et f(1) = 0[pic](741 + 38 + 1) = 0. f est dérivable sur [0 ; 1] d’où continue sur [0 ; 1] et strictement décroissante sur [0 ; 1], elle réalise une bijection de [0 ; 1] sur [0 ; 1] et 0,01[pic][0 ; 1]. Donc d’après le théorème de bijection l’équation f(x) = 0,01 a une une unique solution x0 dans l’intervalle [0 ; 1]. Déterminer l’entier naturel n tel que : [pic]< x0 < [pic]. (0,5 pt) f(0,19)[pic]0,116 et f(0,20)[pic]0,007 ; on

sh(x) est équivalent à (1/2)ex, donc sh(x)/x est équivalent à (1/2)(ex/x), donc tend vers +(, donc il y a une branche parabolique de direction (Oy). 4. sh est continue strictement croissante sur R, lim+( sh = +(, lim(( sh = ((, donc h réalise une bijection de R sur R. 5. ch' = sh, dont le signe est connu. Les limites sont sans problèmes. ch est strictement décroissante sur ]((, 0], strictement croissante sur [0, +([ ; h(0) = 1, lim(( ch = +(, lim+( ch = +(. 6. Pour tout x appartenant à R, ch(x)

représentative dans un repère orthonormé O, i , j . ( unité graphique : 2cm). 1) a) Dresser le tableau de variation de . b) Montrer que pour tout réel x 0 on a : f x Interpréter graphiquement ce résultat. 2) a) Montrer que la fonction x . réalise une bijection de I = ]- que l’on déterminera. On notera (C’) la courbe représentative de sur un intervalle J   dans le repère O, i, j . b) Montrer que les courbes ( C ) et ( C’ ) se coupent en un unique point d’abscisse β et que -0.81 < β < -0.80. c) Montrer

l’intervalle ] −∞ ; ]. e 2 De plus, 1,05 ∈ ] −∞ ; ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x1 sur l’intervalle ]0 ; e ]. Avec la calculatrice, on trouve : x1 = 1,056 à 10−3 près par excès. Sur [ e ; +∞[, la fonction est continue et strictement décroissante et à valeurs dans ]0 ; 2 ]. e 2 ]. e Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation (x) = 1,05 admet une unique solution x2 sur l’intervalle [ e ; +∞[. Avec la calculatrice

ROC: Restitution Organisée des Connaissances ∗ Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . .

vecteur ϕ(A, B), la propriété (A1 ) s'écrit : − → − − → − → ∀ (A, B, C) ∈ E 3 , AB + BC = AC  La propriété (A2 ) dit tout simplement que lorsqu'on xe un point O dans E, l'appli−→ − cation ϕo dénie par ϕo : E → V qui à M → ϕo (M ) = OM est une bijection.  (A2 ) peut aussi dénir une opération ( utilisée comme notation) correspondant à l'addition d'un vecteur à un point : − → → → − ∀ (A, B) ∈ E 2 , ∀ − ∈ V, A + → = B ⇔ AB = − v v v Dénition 1.2.3. La dimension d'un espace ane est la dimension

ROC: Restitution Organisée des Connaissances  Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 2 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés

qui ne serait une définition qu’après que l’on ait prouvé que cette équation différentielle a une unique solution, ce qui n’est (pour l’existence du moins) pas fait en terminale ! 1.0.8 Exercice. En définissant exponentielle exp : R → R comme la bijection réciproque de Log, prouver que l’exponentielle est dérivable et vérifie exp = exp. 2. Soit α ∈ R et pα :]0, +∞[→ R, pα (t) = exp(α Log(t)) = eα Log(t) (= tα ), la puissance d’ordre 5) α composée de l’homothétie t → α Log(t) et de l’exponentielle

S’inspirer de ce qui précède pour étudier le signe de g ' (x) , puis celui de g (x) . 6°) Utiliser ce qui précède pour encadrer cos x par des fonctions paires . cos x ― 1 . 7°) Déduire du 6° la limite en 0 de x2 DERIVEE DE LA RECIPROQUE D’UNE BIJECTION (cf. Exercice 49) EXERCICE 70 1°) La fonction sinus admet une fonction réciproque, notée Arcsin, définie sur l’intervalle π π [― ; ] . Déterminer la fonction dérivée de cette fonction réciproque . 2 2 2°) Même question pour la fonction cosinus et

pas). Alors : Il est fortement déconseillé de retenir la formule par coeur. Un changement de variable doit se penser de la manière suivante. Je souhaite remplacer par . J'exprime en fonction de : (je m'assure que est bien une bijection). J'exprime en fonction de et en dérivant l'expression de fonction de : . J'ajuste les bornes de l'intervalle d'intégration : si varie de à , alors varie de à . (Cet ajustement des bornes est la raison pour laquelle il est conseillé