Bijection

Opérations sur les ensembles . . . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Images et antécédents . . . . . . . . . 2.2.3 Restriction, prolongement, composition 2.2.4 Injections, surjections et bijections . . 2.3 . . . . . 2.3.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ensemble infinis et dénombrabilité . . Applications Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Image directe d’une partie par une application . . 1.4.6 Image réciproque d’une partie par une application 1.4.7 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . 1.5.1 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x=y. Supposons qu'il existe un élément n' de N tel que n'.x=y=n.x. On a alors n−1 n'.x=x c'est à dire n−1 n'∈ Nx . D'où, par hypothèse, n−1 n'=1 et donc n'=n. On pose θ(y)=n. Montrons que l'application θ ainsi dénie de E\{x} dans N\{1} est une bijection : soient y et z deux éléments de E\{x} tels que θ(y) = θ(z)=n. On a alors, par dénition de n, y=n.x=z. θ est donc injective. Soit n appartenant à N\{1}. Montrons que n.x est diérent de x : si n.x=x alors n appartient à Nx = {1}. Contradiction.

= np < np+1 = ψ (p + 1) Donc ψ : N → N est strictement croissante.Ainsi lim uψ(p) = lim un = 1. n→+∞ n→+∞ 3. (1pt : chaque ⇒ vaut 0 .5pt)Il suffit de remarquer que t → f est uniformément continue sur [a, b[ ⇔ b−a b+a 2 t+ 2 , réalise une bijection de [−1, 1[ sur [a, b[ . ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ [a, b[ , |x − y| ≤ δ ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε b−a b+a b−a b+a ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x = t+ ,y = s+ ∈ [a, b[ , 2 2 2 2 b−a b+a b−a b+a |x − y| ≤ δ ⇒ f t+ −f s+ ≤ε 2 2 2 2 2 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ > 0, ∀t, s ∈

son graphe avec toute droite horizontale est au moins ´egale ` a un point i.e. si f (Df ) = R, et plus g´en´eralement la fonction f˜: Df → f (Df ) d´efinie par f˜(x) = f (x) est surjective. Si une fonction f : Df → f (Df ) est bijective, alors sa bijection r´eciproque est la fonction g : f (Df ) → Df dont le graphe est obtenu en prenant le sym´etrique du graphe de f par rapport ` a la droite y = x. y y=x f (x) = x2 4 3 f −1 (x) = 2 √ x 1 1 2 3 x 4 Figure 4 – Graphe de la fonction x2 sur

1⎟ ⎛ 2n − 1⎟ ln n ⎞ ⎞ Un = ⎜ ⎟ ln ⎜ ⎟− ⎜ ⎜ n ⎟ ⎜ n ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n w p: w // w m .e at du hs ca .e m du e r. ca o m rd er .o rg ⎛ x + 1⎞ [ln(1 + x ) − ln(1 − x)]dx → o 2. a) Montrer que f réalise une bijection de IR vers un intervalle I de IR que l'on précisera. b) Soit g la bijection réciproque de f et (Cg) sa courbe représentative. 1 pt 0,75 pt b) Calculer la limite de la suite Un et interpréter graphiquement le résultat. Partie B ⎯→ 5. Soit S la symétrie orthogonale d'axe (Δ)

dénombrable. En particulier Q est dénombrable. 3.3.3 La bijection réciproque d’une application bijective Définition : Soit f : E −→ F une application bijective. Alors on peut définir une application s : F −→ E de la façon suivante : à tout y ∈ F , on associe son unique antécédent x dans E. y −→ x si y = f (x) s est appelé bijection réciproque de f et on la note f −1 . Propriétés remarquables de s . (i) - s est bijective et sa bijection réciproque s−1 est exactement f . (f −1 )−1 = f (ii) - On

x 1 + 0 +∞ variation de la fonction ln • ainsi, nous en déduisons également le signe de la fonction ln : ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1 ln x = 0 ⇔ x = 1 ln x > 0 ⇔ x > 1 • la fonction ln étant strictement croissante et continue, elle réalise une bijection de ]0 +∞[ sur l'intervalle image (que nous préciserons ultérieurement). On en déduit que pour tous réels a et b de ]0 ; + ∞[, on a : • ln a = ln b ⇔ a = b • ln a < ln b ⇔ a < b En effet, si a = b alors il est clair que ln a = ln b. Pour la

des fonctions circulaires 5 B ´ Fonctions reciproques des fonctions circulaires B.1 La fonction arcsinus D´finition e La fonction sinus est continue sur R et strictement croissante sur l’intervalle − π , π , elle r´alise donc e 2 2 une bijection de cet intervalle sur son image [−1, 1] et on peut d´finir son application r´ciproque. e e B.1.1 D´finition e On appelle fonction arcsinus, et on note Arcsin : [−1, 1] → − π π , , x → Arcsin x , 2 2 − π π , . 2 2 l’application r´ciproque de la restriction

droite d est alors dite axe de symétrie de la figure. 3- Involution La symétrie axiale est — comme toute symétrie — une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois. En particulier, c'est une bijection. 4- Conservation La symétrie axiale est une isométrie affine ; elle conserve : l'alignement (la symétrique d'une droite est une droite), le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles), les distances, les angles géométriques