Bijection

décroissante). Donc ƒ(c) ≠ ƒ(c'), c'est-à-dire λ ≠ λ ce qui est absurde. On raisonne de même si c > c' pour aboutir à la même absurdité. Donc on a nécessairement c = c' et, par suite, le réel c est unique. Remarque : comme le théorème 4, le théorème de bijection s'étend aux intervalles non bornés. En résumé, lorsque ƒ est une fonction définie sur un intervalle I, et lorsque λ ∈ ƒ(I). L'hypothèse de continuité de ƒ nous fournit l'existence d'au moins une solution (dans I) de l'équation ƒ(x) = λ. Si l'on

logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. On peut en effet définir cette fonction comme la primitive sur ]0,+∞[ et qui s'annule en 1 de la fonction inverse f(x)=\displaystyle \dfrac{1}{x}, et en déduire que sa bijection réciproque est la fonction exponentielle. Cette fonction est notée l. ou l, en tout cas dès le début du XVIIIe siècle1, et jusque dans la première moitié du XIXe siècle2, puis log.3 ou log4 dès la fin du XVIIIe siècle, puis Log pour la différencier

tableau de variations de k sur DE. b) Déterminer le point d’intersection de la courbe de k avec l’axe des abscisses et préciser le signe de k. (0,5 pt) 3) a) Montrer que k réalise une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle J à préciser. (0,5 pt) C k) et (C C k-1), C k-1 est la courbe représentative de la bijection c) Construire les courbes (C -1 réciproque k de k dans un repère orthonormé ; unité graphique : 1 cm (01 pt) Tracer la courbe de g dans le repère précédent. (0,5 pt) MATHEMATIQUES

ou F pour faux. 1- Si pour tout 𝑥 > 0, on a : |𝑓(𝑥)| ≤ 2 𝑥+1 alors lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0. 2- Si 𝑓 est une fonction continue et monotone sur l’intervalle I alors 𝑓 admet une bijection réciproque noté 𝑓−1 définie sur 𝑓(𝐼). 3- Si pour tout 𝑥 > 0, on a : 1 − 4 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3 + 1 𝑥 alors lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝑘 avec 𝑘 ∈ [−4; 1].

des matières Introduction : Mathématiques et informatique 1) Test de niveau 2) Calculs 3) Raisonnement par récurrence 4) Equations, inéquations, systèmes d’équations linéaires 5) Etude de fonctions 6) Intégration 7) Applications et bijections. Bijection réciproque 8) Logarithme et exponentielle 9) Suites numériques 10) Notions de combinatoire 11) Division euclidienne, pgcd et algorithme d’Euclide Mathématiques et informatique La caractéristique de ce cours est de lier l’informatique

D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation f′(x)=0 possède une unique solution x0.   4. a. On en déduit donc que : – sur [0;x0] ,f′(x)≤0 donc f est décroissante – sur [x0;+∞[, f′(x)≥0 donc f est croissante   f(0)=−2. Or f est décroissante sur [0,x0]. Par conséquent, pour tout x∈[0,x0], f(x)0   Sur l’intervalle [x0;+∞[, f est continue et strictement croissante. f(x0)0. 0∈[f(x0);f(2)] D’après le théorème de la bijection (ou corollaire des valeurs

décroissante). Donc ƒ(c) ≠ ƒ(c'), c'est-à-dire λ ≠ λ ce qui est absurde. On raisonne de même si c > c' pour aboutir à la même absurdité. Donc on a nécessairement c = c' et, par suite, le réel c est unique. Remarque : comme le théorème 4, le théorème de bijection s'étend aux intervalles non bornés. En résumé, lorsque ƒ est une fonction définie sur un intervalle I, et lorsque λ ∈ ƒ(I). L'hypothèse de continuité de ƒ nous fournit l'existence d'au moins une solution (dans I) de l'équation ƒ(x) = λ. Si l'on

images par g des droites (AB) et (JH) . Construire alors le point  et l’axe  de g. EXERCICE 2 (5 points ) Soit f la fonction définie sur  1, 0 par : f  x   1  1  x  1  1  x 1/ Montrer que f réalise une bijection de  1, 0 sur  2, 2  2/ Soit g la bijection réciproque de f, monter que pour tout x   2, 2 , g  x    1  x 2  2  4 3/ Soit F une primitive de f sur  1, 0 .Montrer que la fonction H  F  g est une primitive sur de la fonction h : x  x g  x  . 2

application a¢ ne f un de E dans E 0 , est un sous-espace a¢ ne de E 0 . ! ! ! f (I + F ) = f (I) + f F . La dimension du sous-espace image est donnée par le théorème du ! ! rang appliqué à la restriction de f à F . (d) Caractérisation des bijections a¢ nes, bijections a¢ nes ayant même partie linéaire, groupe a¢ ne GA (E). 2 Exercices 1. Parmi les sous ensembles suivants de l’ espace vectoriel des fonctions de R dans R, lesquels en sont des sous-espaces vectoriels ? (a) L’ ensemble des fonctions

4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On rappelle que lim t®0 sin(t) t = 1. Soit n Î . Étudier la limite suivante : lim t®0 sin( ) sin( ) nt t Exercices