Bijection

strictement monotone sur D1 ) si f est croissante ou décroissante sur D (resp. strictement croissante ou décroissante sur D1 ). Théorème Soit f : D → R strictement monotone sur D. On a : 1. f est une bijection de D sur f (D) et admet une fonction réciproque notée f −1 . 2. f −1 est une bijection strictement monotone de f (D) sur D, f −1 a même monotonie que f . 3. Dans un plan muni d’un repère (O,￿ ￿ orthonormé C et C ￿ courbes représentatives i, j) de f et f −1 sont symétriques par rapport à la

décimal impropre. k →∞ Donc A = a 0 + i=n k →∞ Propriété . Tout nombre décimal admet une représentation et une seule par un D.D.I. ne possédant qu'un nombre fini de décimales non nulles. On notera ∆ 0 l'ensemble de ces D.D.I. IL y a bijection entre D l'ensemble des décimaux et ∆ 0 . ( voir le rappel ci-dessus) Appelons ∆ 9 l'ensemble des développement décimaux illimités ne comportant que des 9 à partir d'un certain rang. Ainsi le D.D.I. 1,2319999…… ne comportant que des 9 à partir

laquelle ? 3) On suppose que f est dérivable sur ]−1 ; +∞[ . a- Montrer que f '( x ) = 1 − 2 x +1 . 2 x +1 b- En déduire le tableau de variation de f. c- Déterminer une équation de la tangente (D) au point d’abscisse 0. 4) a- Montrer que f est une bijection vers un intervalle que l’on précisera. b- f −1 est-elle dérivable en 1 ?Si oui, calculer (f −1 ) '(1) . a- Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une solution unique α ∈ [ 0; +∞[ . b- Déterminer un encadrement de α deux décimaux consécutifs d’ordre

particulièrement lourd, ses concepts et ses méthodes restent très présentes dans la logique contemporaine. 12) L'œuvre de Georg Cantor réside dans la théorie des ensembles : ainsi, il a travaillé sur la dénombrabilités des ensembles, grâce à la bijection (voir q5 maths), et sur le fait qu'il existe plusieurs types d'infinis. Il a utilisé le principe d'autoréférence (dont Russel s’est servi pour établir son paradoxe) pour prouver la non-dénombrabilité des nombres réels. Cette courte démonstration

𝑓′(𝑥) = 0. 4. Dresser le tableau de variation de 𝑓 et tracer son graphe. En déduire que 𝑓 est injective. 5. On désigne par 𝑓 la bijection de [−1,1] sur 𝑓([−1,1]) définie par 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥), pour tout 𝑥 ∈ [−1,1] et on désigne par 𝑓−1 sa bijection réciproque. Justifier l’existence et déterminer (𝑓−1) ′ (0). Allez à : Correction exercice 18 : Exercice 19 : Soit 𝑓:ℝ → ℝ la fonction définie

On dit que f réalise une bijection de I sur J si f (I) = J et si tout élément de J possède un unique antécédent appartenant à I. La fonction réciproque de f , notée f −1 , est la fonction qui, à tout élément de J, associe son unique antécédent appartenant à I. On a : x = f −1 (y) ⇐⇒ f (x) = y pour tout x ∈ I et tout y ∈ J. Théorème (de la bijection) IX.4.2. — Soient I un intervalle de R et f : I −→ R une fonction continue strictement monotone. Alors f réalise une bijection de I sur J = f (I). De

comme somme et composée de fonctions continues, et strictement croissante. Elle réalise donc une bijection de ]−1 ; 0[ sur ]−∞ ; 1[. Or 0 appartient à l’ensemble d’arrivée ] − ∞ ; 1[. Donc, 0 possède un unique antécédent, noté α dans ] − 1 ; 0[. Sur l’intervalle ]0 ; +∞[, la fonction g est continue, comme somme et composée de fonctions continues, et strictement décroissante. Elle réalise donc une bijection de ]0 ; +∞[ sur ] − ∞ ; 1[. Or 0 appartient à l’ensemble d’arrivée ] − ∞ ; 1[. Donc, 0 possède

(m + n 6) ∈ A. √ √ √ (m + n 6)(m + n 6) = (mm + 6nn ) + (mn + m n) 6 √ √ Donc (m + n 6)(m + n 6) ∈ A. 1/2 D EVOIR LIBRE DE M ATHÉMATIQUES-MPSI 2. Observons d’abord que pour tout élément a de A, ϕ(ϕ(a)) = a. Donc ϕ est une bijection, puisque tout élément de A a pour antécédent ϕ(a). Montrons maintenant que ϕ est un morphisme pour l’addition. √ √ √ ϕ((m + n 6) + (m + n 6)) = ϕ(m + m + (n + n ) 6) √ = m + m − (n + n ) 6 √ √ = m−n 6+m −n 6 √ √ = ϕ(m + n 6) + ϕ(m +

pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x). − une bijection, ou que f est bijective ssi tout élément de F admet exactement un antécédent dans E : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E, x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F. 3 Introduction Exemple important Soit E un ensemble (non vide). L’application IdE : E → E, x → IdE (x) = x est appelée l’application identité de E. (C’est d’ailleurs une bijection.) Propriétés Proposition 1. Une application est bijective

que l’application φ: N n −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant ) d’entiers que d’entiers pairs !) ( ) Th´or`me 1.2 : Propri´t´s des compos´es e e e e e Soient f : E → F et g : F → G deux applications. – Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective ; – Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective ; – Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; – Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. Th´or`me 1.3 : Bijection r´ciproque e e e Soit f : E → F une application