Bijection

N n φ: −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant ) d’entiers que d’entiers pairs !) ( ) Th´or`me 1.2 : Propri´t´s des compos´es e e e e e Soient f : E → F et g : F → G deux applications. – Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective ; – Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective ; – Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; – Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. Th´or`me 1.3 : Bijection r´ciproque e e e Soit f : E → F une

N n φ: −→ → P 2n est une bijection. (Il y a donc ( autant ) d’entiers que d’entiers pairs !) ( ) Th´or`me 1.2 : Propri´t´s des compos´es e e e e e Soient f : E → F et g : F → G deux applications. – Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective ; – Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective ; – Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; – Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. Th´or`me 1.3 : Bijection r´ciproque e e e Soit f : E → F une

restriction, prolongement. Cas des fonctions. Familles indexées, réunion, intersection. 2 - Propriétés des applications : injectivité, surjectivité, bijectivité, réciproque d’une bijection. 3 - Composition des applications : définition, associativité, composées de deux injections, surjections ; caractérisation des bijections, réciproque d’une composée. 4 - Images directes et réciproques d’ensembles : définitions, comportement de l’image réciproque par rapport aux opérations ensemblistes. C) Relations

appartenant à [0 ;35]. Ainsi, la fonction h est strictement croissante sur [0 ;35]. b) La fonction h est continue et strictement croissante sur [0 ;35]. De plus, h(0)=153-504<0 et h(35) ≈792>0. Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation h(x)=0 admet une unique solution x0 sur l’intervalle [0 ;35] c) Avec la calculatrice on trouve x0=8,871. d) Y0=fx0=f(8,871)=238,41. e) De la question précédente, on déduit que le prix unitaire d’équilibre de cet

pr´c´dente ? e e e a e e Devoir 1 R. Mansuy 4. Dans cette question, on reprend les notations de la question A.2, ` savoir deux a ensembles E, F , une application f : E → F et la relation d’´quivalence qui e en d´coule. e Montrer que S est en bijection avec P(f (E)). 

existe après le fini, le transfini : Possible de déterminer des ensembles infinis par des nombres définis  Nombre infini ! • Recherche le « cardinal » de l’infini  de l’ensemble N ‫א‬o = cardinal • 2 ensembles sont équipotents  il existe une bijection entre ces 2 ensembles Cantor • N, Q : infini dénombrable cardinal: ‫א‬ o • R: infini non-dénombrable cardinal: 1 ‫א‬ Cantor L’univers est-il infini ? Topologie de l’univers Théorie 1: univers courbé • Basé sur la relativité générale

57 57 57 57 58 59 59 60 61 62 63 63 63 65 66 69 69 71 71 73 73 74 74 77 77 77 78 79 81 81 81 83 85 85 86 88 11 Continuité 1 Dé…nitions et propriétés algébriques 2 Prolongement par continuité . . . . . 3 Propriétés des fonctions continues . . 4 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . 12 Dérivabilité et fonctions de classe 1 Généralités . . . . . . . . . . . . 2 Règles de calculs . . . . . . . . . 3 Fonctions monotones . . . . . . . 4 Prolongement . . . . . . . . . . . 5 Théorème des accroissement

encadrement de d’amplitude 10 – 2 . La fonction f est dérivable sur [0 ;1] d’où continue sur [0 ;1] et elle est strictement croissante sur [0 ; 1]. De plus f(0) = 0 et f(1) = ln 2 0,7 d’où 0,25[f(0) ; f(1)]. On en déduit, d’après le théorème de la bijection, que l’équation f(x) = 0,25 admet une unique solution dans [0 ; 1]. Par la méthode de balayage, avec la calculatrice, on obtient : 0,56 < < 0,57 car f(0,56) 0,249 et f(0,57) 0,257. Partie B : étude d’une suite La suite (un) est définie

géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de

g"( x ) est positif , donc g' est croissante sur IR.( 0,25 ) d) Sur l'interevalle [ 0 , 1 ] la fonction g' est continue et strictement croissante , elle réalise donc une –1 –1 –1 bijection de [ 0 , 1 ] sur [g'(0),g'(1)] = [ - 2 , e – e ] , or e – e > 0 , donc 0 ∈ [- 2 , e – e ] 2 2 2 Par le théorème de la bijection ,il admetra un unique antécédent par g' noté α tel que g' ( α ) = 0. ( 0,75 ) g'( 0,46) = et g'( 0,47) = donc 0,46 ≤ α ≤ 0,47 ( 0,25 ) La fonction g' étant croissante , elle négative