Bijection

g´om´triques caract´ristiques. e ee e e e 0,5 pt + 0,5 pt Construire (Γ). f: R → R √ 2. Soit x → x − x2 − 9 et g : R∗ → R x 9 . x → + 2 2x a) Etudier les variations de f . 0,75 pt b) Montrer que la restriction de f ` l’intervalle I = 3, +∞ est une bijection de I sur un a intervalle J ` pr´ciser. On note ϕ cette restriction. a e 0,25 pt −1 c) D´montrer que pour tout x ´l´ment de J, on a : ϕ (x) = g(x). e ee 0,5 pt → → − − d) Tracer Cϕ , courbe repr´sentative de ϕ dans le rep`re (O, i , j ). Expliquer

orthogonale par rapport à l’axe (Ox). y M (z) O x M ’(z) Conjugaison sur C et symétrie orthogonale. 2 Proposition 3.1.2. 1. La conjugaison est involutive : z = z (c’est donc une bijection !) ; 2. La conjugaison est un isomorphisme de corps et de R-espace vectoriel, c’est-à-dire une bijection vérifiant : i) ∀z, z ∈ C, z + z = z + z et zz = z z ; ¯ ¯ ¯¯ ii) ∀λ, µ ∈ R, ∀z, z ∈ C, λz + µz = λ¯ + µ¯ . z z Démonstration. Pour le 1/ : si z = x + iy, alors z = x − iy et donc z = x + iy = z

. 6.2.4 Composition des applications . . . . . . . . . . 6.3 Applications particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Fonction indicatrice d’un ensemble . . . . . . . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites réelles 7.1 Notions

lettre. Jean-Louis Curtis , La Moitié du chemin, éd. Flammarion. Patrick Grainville , Le Dernier ... 5 Kio (560 mots) - 29 décembre 2013 à 14:22 Mot (mathématiques) Le théorème admet une version plus forte: si x et y sont deux mots ... A^* est une bijection si et seulement l'image d'une lettre est une lettre. ... 14 Kio (2 066 mots) - 22 mars 2013 à 18:25 Êta Êta (capitale Η, minuscule η; en grec el | ήτα), est la lettre de l'alphabet ... h/ et une voyelle longue, mais seulement si le son « e »

[pic]x.lnx = ; [pic]= | d) Remarques: i) Pour tout entier naturel q non nul, la fonction définie sur [pic] par x [pic][pic] est la bijection réciproque de la fonction définie de vers par: donc [pic] = et [pic] = ii) Pour tout rationnel strictement positif r = [pic] (p

Mme Morel-Sp´cialit´ math-cours similitudes e e 1 Les similitudes 1 1.1 Vocabulaire, rappels Transformations du plan D´finition 1.1.1. Une application f du plan dans lui mˆme est une tranformation si f est une bijection du plan dans e e lui mˆme, c’est-`-dire si pour tout point N du plan, il existe un et un seul point M du plan tel que f (M ) = N . e a Exemples : 1. Une translation, une homoth´tie, une rotation, une r´flexion sont des transformations du plan. e e 2. L’application identit´

espace normé complet E sur un espace normé complet F , il existe une constante M telle que pour tout y ∈ F , il existe x ∈ E tel que T (x) = y et ‖x‖ ≤ M‖y‖. Une conséquence immédiate du théorème de l’application ouverte est que si T est une bijection linéaire continue entre espaces normés complets, alors son inverse T−1 est continue. En approfondissant la question, on parvient à montrer qu’une application linéaire explicite (en un sens précis et extrêmement large) entre espaces normés

irrationnel, sinon i = x − r serait rationnel contrairement `a l’hypoth`ese. Le th´eor`eme est donc d´emontr´e. Remarque. Il y a beaucoup plus de nombres r´eels que de nombres rationnels. On peut montrer que les ensembles Z et Q peuvent ˆetre mis en bijection avec N, c’est-`a-dire que l’on peut num´eroter avec les entiers naturels les ´el´ements de Z et Q. On dit que Z et Q sont d´enombrables. Par contre R n’est pas d´enombrable (th´eor`eme de Cantor) et pourtant Q est dense dans R. 1.4 Nombres

2n + 1 k n, sont éléments de ]0, π kπ [, donc sin ≠ 0 et les nombres αk sont bien définis. 2n + 1 2 π [. Il en va donc de même de la 2 D'autre part, la fonction cotan est continue, décroissante et positive sur ]0, fonction cotan qui induit une bijection de ]0, Donc les réels αk sont distincts. D'après la question 1, pour tout k ∈ 1, n , on a : ¡   π [ dans ]0, +∞[. 2 Autour de zêta(2) Page 5 G. COSTANTINI n  j=0 Les n racines de Pn sont bien les réel : αk = cotan2 3. D'après

irrationnel, sinon i = x − r serait rationnel contrairement ` l’hypoth`se. Le th´or`me est donc a e e e d´montr´. e e Remarque. Il y a beaucoup plus de nombres r´els que de nombres rationnels. On peut montrer que les e ensembles Z et Q peuvent ˆtre mis en bijection avec N, c’est-`-dire que l’on peut num´roter avec e a e les entiers naturels les ´l´ments de Z et Q. On dit que Z et Q sont d´nombrables. Par contre R ee e n’est pas d´nombrable (th´or`me de Cantor) et pourtant Q est dense dans R. e e e (2) (1)