Calcul intégral

, B(4;2) , C(0;5), trouvez les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. Condition nécessaire & suffisante : AB = CD C'est à dire : (Xb – Xa ; Yb – Ya) = (Xc – Xd ; Yc – Yd ) Je remplace : (4 – 1 ; 2 – 0) = (0 – Xd ; 5 – Yd) Je calcule : (3 ; 2) = (0 – Xd ; 5 – Yd) On sait que 2 vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont égales alors : 0 – Xd= 3 0 – 3 = Xd Xd = -3 5 – Yd = 2 5 – 2 = Yd

Équations I. Équation du premier degré Définition Une égalité est une affirmation qui utilise le signe = et qui ne peut être que vraie ou fausse. Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu, le plus souvent noté x Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue pour que l’égalité soit vraie: ces valeurs sont les solutions de l’équation. Une équation est dite du premier degré si l'exposant de x est 1 Propriétés On transforme une équation en une équation

note couramment la donnée inconnue par . La méthode consiste à isoler d’un côté de l’équation les termes contenant l’inconnue. Pour cela, on effectue de chaque côté de l’équation des opérations simples. Ensuite, on calcule tout ce qui est calculable en respectant les priorités de calcul. On peut alors obtenir le résultat, qu’on appelle l’ensemble des solutions. Exemples :  On a : D’où : Ainsi :  On a : D’où : Ainsi : Les équations précédentes sont des équations dites du premier

Orthogonalité Niveau : Tle S Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore (Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base) Remarque préliminaire : Il y a deux manières d'aborder la leçon : – On part de la définition

Révision des chapitres 1 et 2 201-016-50 Propriétés des exposants 45 = 48 1. 43 × 42 = 5. 2. (43 )2 = 6. 4 0 = 3. ( 4 (16) ) 3 7. 4 −3 = = 5 2 4.   = 3 Simplifier l’expression et exprimer votre réponse à l’aide d’exposants positifs. a) (4 ) (5 ) (5 ) x (4 ) = b) (4 ) (5 ) (5 ) ÷ (4 ) = 2 4 3 2 2 4 3 2 4 −2 −1 3 4 −2 −1 3 Propriétés des exposants fractionnaires et des radicaux 1. 3 8= 3. 2. 3 214 = 4. Simplifier s’il y a lieu. 5 64x5 y8 = z16 3 2 3 3 2 24

Chapitre 01 : Intégrales multiples Introduction : Les intégrales multiples constituent la généralisation des intégrales dites simples : c'est-àdire les intégrales d’une fonction d’une seule variable réelle. On s’attache ici à la généralisation à des fonctions dont le nombre de variables est plus important (deux ou trois). Rappelons qu’une fonction réelle , définie sur un intervalle [a,b], est dite Riemann intégrable si on peut l’encadrer entre deux fonctions en escalier ; d’où toute fonction continue

32005 MATHEMATIQUES Série S Fiche 5 : Integrales et primitives Utilisation du tableau des primitives Méthode On utilise dans ces exercices la linéarité de l’intégrale : ∫a k × f (x) dx = k ×∫a f (x) dx si k est une constante réelle. On se ramène ainsi aux primitives usuelles en « équilibrant » les coefficients, puis utiliser une forme connue de primitive : b b ∫ f (x) dx = [F(x) ]a = F(b) − F(a). a b b • Type u′eu Exercice 1 Calculer I1 = • Type u′ u u′ ( toujours en « équilibrant

Chapitre 1 Intégrale sur [a, b] de R (a 0 sur [a, b] ; alors il existe c ∈ [a, b] tel que : b b f (t)g(t)dt = g(c) a a f (t)dt Démonstration : puisque g est continue sur [a, b] alors il existe m et M dans R tel que g([a, b]) = [m, M ] avec m = min{g(x)/x ∈ [a, b]} et M = max{g(x)/x ∈ [a, b]}. Donc pour pour tout x ∈ [a, b] on a m ≤ g(x) ≤ M et par suite on a : b b b m a f (t)dt ≤ a f (t)g(t)dt ≤ M b f (t)dt. a f (t)g(t)dt Et par conséquence a b ∈ [m, M

Planche no 23. Intégrales curvilignes. Intégrales multiples * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (**) : Calculer l’ intégrale de la forme différentielle ω le long du contour orienté C dans les cas suivants : y x dx + 2 dy et C est l’arc de la parabole d’équation y2 = 2x + 1 joignant les points (0, −1) et (0, 1) 1) ω = 2 2 x +y x + y2 parcouru une fois dans le sens des y croissants. 2) ω = (x − y3 )dx + x3 dy et C est le cercle

y 8 Intégrales Intégrales et calculs d’aires -1 Alors : 4 3 A 2 1 A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 0 1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌡ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌠a F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [ a ; b ] ; 0 1 2 3 4 5 6 7 (si le repère a comme unité 2 cm sur (Ox) et 3 cm sur (Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².) 2) LES METHODES 1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………