Cercle trigonométrique

équation f(z) = 0 admet une solution imaginaire pur z que l' on déterminera 0 b) résoudre alors f(z) = 0 on note z et z les deux autres racines ; z celle qui 1 2 1 a une partie imaginaire négative z 2) On pose ω = 1 z 0 a) donner la forme trigonométrique de ω b) le plan etant raporté a un repere orthonormé (O; U;V ) a tout nombre complexe z non nul on associe les ponts M; M ; M 1 2 2 d ' affixes respectives z; ω z; ω z ; montrer que OMM M est un losange 1 2 ( ) π (2π ) 2 a tout

d’un repère orthonormal direct ( O ; u, v ) . On considère les trois complexes : z 1 = 3 – i ; z 2 = 3 + i et z 3 = 2i . Représenter dans le plan complexe les trois points M 1 , M 2 et M 3 d’affixes z 1 , z 2 et z 3 et montrer qu’ils sont sur un même cercle de centre O. Calculer z 2 – z 1 . Démontrer que le quadrilatère OM 1 M 2 M 3 est un losange. ■ N’oubliez pas de joindre la notice individuelle que vous trouverez dans ce livret, avec le 1er devoir, pour le professeur correcteur. 8 Devoir

21 21 21 22 22 4. 4.1 4.2 4.3 4.4 Environnement de dessin Unités de saisie Limites du dessin Coordonnées d'un point Outils de précision 23 23 23 23 25 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Objets plans de base Point Ligne Cercle Arc de cercle Ellipse Précision d’affichage des cerckes, arcs et ellipses Droite Demi-droite 31 32 32 32 33 33 33 33 34 6. Objets plans complexes 35 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Polyligne 2D Rectangle Polygone régulier Multiligne Spline

Formulaire de trigonométrie Définition des fonctions sinus, cosinus et tangente 1 M(x) sin(x) tan(x) cos(x) • M est un point du cercle trigonométrique. → − − −→ x est une mesure en radian de l’angle ( i , OM). cos(x) est l’abscisse de M, sin(x) est l’ordonnée de M. • Si x n’est pas de la forme 1 π + kπ, k ∈ Z, 2 sin(x) tan(x)= . cos(x) O • Pour tout réel x, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. 1 π = 1 + tan2 (x). Si x n’est pas de la forme + kπ, k ∈ Z, 2 cos2 (x) Arcs associés Tour complet 1

musulmans employaient chacune des six fonctions trigonométriques, et disposaient de tables à intervalles de 0,25°, avec 8 décimales exactes, ainsi que des tables de valeurs de la fonction tangente. Abu l-Wafa produisit également la formule trigonométrique sin 2x = 2 sin x cos x. Le mathématicien perse Omar Khayyam résolut les équations cubiques en employant des solutions numériques approximatives obtenues par interpolation dans des tables trigonométriques. Tous ces premiers travaux ont traité principalement

On peut mesurer les angles en degrés, en grades, en tours ou en radians, la conversion se faisant selon le barème suivant : 360 degrés = 400 grades = 1 tour = 2π radians. Le radian vient naturellement lorsqu'on considère que la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre qui le sous-tend : si l'angle au centre a une mesure ϑ , selon l'unité choisie, on trouvera pour la longueur de l'arc sous-tendu (le rayon étant de longueur R) : L = 2π R L = 2π R ϑ 360 ϑ 400 L =

déplacement des planètes et voulaient en connaitre plus par rapport à leurs déplacements. Ils ne pouvaient mesurer cela qu’à l’aide d’angles. Ils créèrent donc un cercle séparé en 360 parties arbitrairement étant donné qu’ils comptaient en base de 60. C’est alors que la trigonométrie débuta et ses applications se faisaient dans un cercle. Le premier mathématicien à utiliser la trigonométrie pour l’astronomie s’appelait Lagadha. Erathostène Ce dernier utilisa les calculs des babyloniens pour calculer

de la droite 5-4 Positions relatives de deux droites 6. Les relations métriques dans le triangle. 6-1 Rappel sur les triangles 6-2 Droites remarquables 6-3 Relations métriques dans le triangle rectangle 6-4 Relations métriques. 6-5 Relations trigonométriques dans un triangle long. 7. Calcul d’aires par les intégrales 7-1 Approche de la notion 7-2 Fonction positive. 7-3 Remarque. 7-4 Exercices d’application 7-5 Remarque l’aire entre deux courbes. C. ETUDE DES FONCTIONS USUELLES 8. Etude de la fonction

x et x → cos x . . 3.3.4 Formules d’Euler, linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Utilisation de la formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Deux sommes trigonométriques classiques . . . . . . . . . . . 3.3.7 La fonction tangente x → tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme trigonométrique (polaire) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Module et argument d’un nombre complexe non nul . . . . . 3.4.2 Forme polaire et opérations dans C . . . . . . . . . . . . . . . 3

point [pic] par rapport au chemin fermé [pic]. L’indice d’un point par rapport à un chemin fermé est égal au nombre algébrique de tours que fait le chemin autour du point, en comptant positivement les tours effectués dans le sens trigonométrique. Si [pic] est le cercle de rayon unité, centré à l’origine, parcouru dans le sens positif alors [pic] Formule intégrale de Cauchy : Soit [pic] une fonction analytique définie dans un ouvert simplement connexe [pic] de ( et [pic] un chemin fermé de [pic]