Cercle trigonométrique

construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la figure 1 (vue de   dessus de la piscine), où (O; i , j ) est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre   de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : AB de centre O et de rayon 3, et CD de centre O' et de rayon 4, reliés par deux courbes C et C '. L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure. La courbe C reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction f définie

ABD est rectangle en A. 2. Calcul de l'angle a ADB Le triangle ABC est équilatéral donc a = 60° BCA • a et a interceptent le même arc de cercle c BA BDA BCA Donc a = a BCA BDA a 60° BDA= 3. Démontrons que (DC) est perpendiculaire à (OE) • E est l'image du point D par la translation de vecteur OC. Donc ODEC est un parallélogramme. • C et D sont deux points du cercle de centre O donc OD = OC On sait que ODEC est un parallélogramme et OD = OC Or si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur

Exercice n°7. Exprimer, en fonction de R, le périmètre de la figure : Page 1/20 5π rad 9 9) 40° 4) 5π rad 36 10) 125° 5) Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Exercice n°8. Soit C et C’ deux cercles de centre O, de rayons respectifs R et R’ (R’ 2 sin ( 3x ) = Exercice n°19. 1) Exprimer cos a cos b en fonction de cos(a + b) et cos(a − b) 2) En effectuant un changement de variable que l'on précisera, démontrez que pour tous nombres réels

sur la feuille de travail. De même, les propriétés de chaque objet sont accessibles par un clic-droit sur l’objet. En cliquant sur les différents boutons (et sur les petites flèches vers le bas), on peut facilement créer des points, des droites, des cercles, des images par des transformations géométriques, . . .. L’icône permet de déplacer un point libre. L’icône permet de faire glisser toute la feuille de travail. La dixième icône, , créé un curseur qui permet de faire varier un nombre dans une plage

2x OA = OB car A et B appartiennent à C donc AOB est isocèle en O on a donc 2($AO,$AB) + Pi - 2x = Pi donc ($AO,$AB) = x B est un point du cercle de diamètre [AI] donc AIB est rectangle en B. par conséquent ($IO,$IB) + ($AO,$AB) + Pi/2 = Pi donc ($IO,$IB) = Pi/2-x 2) ABI est rectangle en B donc sin(OAB) = BI/AI Or OI = 1 car C est un demi-cercle trigonométrique par conséquent sin(x) = BI/2 cos(OAB) = AB/AI donc cos(x) = AB/2 3) IAB est rectangle en B, son aire vaut donc BI*AB/2 = 2sin(x)*2cos(x)/2

)= . 2 2x De quelle fonction, f ou g , obtient-on un tableau de valeurs ? 4) Quelle formule entrer en B2 et recopier vers la droite pour obtenir un tableau de valeurs de l’autre fonction ? Exercice 17 : Dans chaque cas placer sur le cercle trigonométrique le point repéré par le réel x, et donner les valeurs exactes de cos (x) et sin (x) :  −2  5 3 1/ x = 2/ x = 3/ x = 4/ x = 3  5/ 6/ 4 3 6 6 4 Exercice 18 : Dans un repère orthonormé on donne les points A(2;3); B(-1;2);

A S' I' i' D Ces relations sont valables dans tous les cas (pour n > 1) en orientant les angles, comptés à partir des normales aux dioptres, dans le sens trigonométrique pour i et r et dans le sens inverse pour i', r' et D. 4) Construction géométrique des rayons réfractés . On applique deux fois la construction d'Huygens. Les deux cercles de centre A, C1  et C2 , ont pour rayons R 1 et R 2=n R 1. Le rayon TA parallèle au rayon incident SI se réfracte sur le premier dioptre selon AM', donc

points A’ et B’, milieux respectifs des segments [BC] et [AC] ; tracer la droite Δ1 perpendiculaire à (BC) passant par A’ ; tracer la droite Δ2 perpendiculaire à (AC) passant par B’ ; placer le point Ω intersection des droites Δ1 et Δ2 ; construire le cercle de centre Ω passant par A. 1 → –2 ; 1 0→– : 2 et – 2 n’a pas d’image (division par zéro impossible). 2 b) f(x) = x + 1 . x–2 Activité 2 1 On peut inverser les deux premières étapes mais cela conduit à des calculs un peu moins simples (somme

et B’, milieux respectifs des segments [BC] et [AC] ; tracer la droite Δ1 perpendiculaire à (BC) passant par A’ ; tracer la droite Δ2 perpendiculaire à (AC) passant par B’ ; placer le point Ω intersection des droites Δ1 et Δ2 ; construire le cercle de centre Ω passant par A. Activité 2 1 On peut inverser les deux premières étapes mais cela conduit à des calculs un peu moins simples (somme de fractions). 2 Une possibilité : on multiplie les deux membres par 3 ; on soustrait x aux deux

a. Quelle est la mesure de l'angle ? b. En déduire la mesure de l'angle . 3. Calculer une valeur approchée de DE à 0,1 cm près. 4. Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE ? Tracer ce cercle, que l'on notera , puis tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. 5. Les cercles et se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont-ils alignés ? Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de