Continuité territoriale

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une suite partielle convergeant vers un point de E, soit x = lim xkp . p→+∞ Par continuit´, on devrait avoir e f (x) = lim f (xkp ) = −∞ p→+∞ ce qui est absurde. Soit alors α = inf{f (x) | x ∈ E} et choisissons pour chaque k ∈ N un point yk ∈ E tel que 1 α < f (yk ) < α + . k Par compacit´, cette suite devra contenir une suite partielle convergeant vers e un point de E, soit y = lim ykp . p→+∞ Par continuit´, on aura e f (y) = lim f (ykp ) = α. p→+∞ C.Q.F.D. Th´or`me 9 Soit f : Rn →

Chapitre 3 Dérivées et primitives I- Rappels sur la dérivation 1) Nombre dérivé Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I , et a un nombre de I . f a  h   f a  admet h une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est alors notée f ' a  , et appelée le nombre dérivé de f en a. On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre a et a  h : f a  h   f a  h f ' a   lim h0 Si f est dérivable en a , alors la courbe représentative

DS de Terminale S (4h), calculatrice interdite. 06/11/2008 Les parties Test et Ds seront traitées sur des feuilles séparées. PARTIE Test Exercice 1 (6 points). Répondre par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes. Justifier vos affirmations. Toute réponse non ou mal justifiée ne rapportera pas de points. A. Soit f la la fonction définie sur IR par : f(x) = (x - 1)e2x, alors : a. [pic]= x e2x b. f(x) = −( c. L’équation f(x) = 1 admet

écricome 2003 option économique : corrigé rapide exercice 1 1.1.1 ( est valeur propre de f ssi A ( (I n'est pas inversible. En effectuant les opérations L1 ( L2, puis L2 ( L2 ( (3 ( ()L1, on obtient la matrice [pic] ((2 +3( ( 2 = 0 ( ( = 1 ou ( = 2 ; 2 ( ( = 0 ( ( = 2. Les deux valeurs propres de f sont donc (1 = 1, (2 = 2. 2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A. 3. Pour (1 = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1. Pour (1 = 2, le sous espace

CM4 S1 Statistiques à une variable I] Vocabulaire. Définitions Le vocabulaire des statistiques est relatif aux populations : Status : cela signifie état en latin. Par ailleurs , il s'agissait au départ de compter des gens , pour pouvoir construire écoles , hopitaux, routes... Ce vocabulaire est resté. On étudie des populations, même si ce sont des crayons ou des CSP Chaque élément de cette population est appelé individu, même si c'est une voiture. Pour ces populations

SESSION 2010 MPM1002 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________________________________________________ ___________________________________ Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra

étant continue sur R. De plus, comme on peut sûr supposer les εk éléments de [0, 1], on a G(a + εk + iy)eixy Kn (y) = |G(a + εk + iy)| Kn (y) ≤ sup |G| Kn (y), F où F est le compact [a, a + 1] × [−2n, 2n] de C, la borne supérieure existant par continuité de G. Comme la fonction dominante est intégrable sur R, le théorème de convergence dominée donne +∞ +∞ G(a + ε + iy)Kn (y)eixy dy → −∞ −∞ g(y)Kn (y)eixy dy quand ε → 0+ . 4. L’échange est justifié par le théorème de Fubini, essentiellement

appliquant le théorème de Rolle entre α et a, on obtient c ∈ ]α, a[ ⊂ ]0, a[ tel que f (c) = 0. Exercice 34 : [énoncé] a) La fonction g : x → f (x)/x est définie, continue et dérivable sur ]0, a]. Quand x → 0, g(x) → f (0) = 0 Prolongeons g par continuité en 0 en posant g(0) = 0. Puisque g est continue sur [0, a], dérivable sur ]0, a[ et puisque g(0) = g(a), le théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée de g en un point c ∈ ]0, a[. b) xf (x) − f (x) g (x) = x2 donc g (c) = 0 donne cf (c)

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014 Enoncés Limite et continuité Généralités sur les fonctions Exercice 1 [ 01779 ] [correction] Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante tandis que f ◦ f ◦ f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. 1 f (x) = ln x2 + 1 + x Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante