Continuité territoriale

EXERCICE 3 (6 points ) (Commun à tous les candidats) On considère les deux courbes (C1 ) et (C2 ) d’équations respectives y = ex et y = −x2 − 1 dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes. 1. Sur le graphique représenté dans l’annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l’aide d’une règle. Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1 ) et l’abscisse du point

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR OFFICE DU BACCALAUREAT Téléfax (221) 864 67 39 - Tél. : 824 95 92 - 824 65 81 1/2 07 G 26 A 01 Durée : 04 heures Séries : S2-S2A-S4-S5 – Coef. 5 Epreuve du 1er groupe MATHEMATIQUES Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR

g, d´finie par h(x) = a e √ 2) D´terminer les deux points stationnaires de f . e 1 + x2 , en a = 0 et ` l’ordre n = 2. a 3) Pr´ciser la nature de ces points stationnaires. e 4) En d´duire la limite de f en 0. e ˜ 5) On note f le prolongement par continuit´ de f en 0. e En reprenant les questions 2) et 3) ` l’ordre n = 3, ´tudier a e ˜ la d´rivabilit´ de f en 0. e e Exo 40. Soit f la fonction num´rique d´finie par : e e 3 f (x) = 3x4 + 4x3 − 2 x2 − 3x + 1. 1) D´terminer Df . e 6 Convexit´

Red´montrons-le: e |f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − fn (x)| + |fn(x) − fn (a)| + |fn(a) − f(a)| ≤ 2N∞ (f − fn) + |fn (x) − fn(a)| Si ε > 0 est donn´, soit n fix´ tel que N∞ (f − fn ) ≤ ε/3. Par continuit´ de fn , il existe un voisinage de a e e e dans lequel |fn (x) − fn (a)| ≤ ε/3. On a dans le mˆme voisinage |f(x) − f(a)| ≤ ε ce qui prouve la continuit´ e e de f en a: c’est vrai pour tout a, cqfd. u(x) = e0 = 1 si x < 1 . Cette fonction ´tant e 4) La limite simple de (un) est la fonction u d´finie par e u(1) = e1 = 1 0

Fonction exponentielle On a établi en activités deux implications réciproques entre deux propriétés (P) et (Q) pour une fonction f, non nulle définie et dérivable sur R. On se reportera pour les démonstrations du chapitre à celles effectuées en activités. (P) : f vérifie : f ‘= kf et f(0)= 1 (Q) : pour tous réels x et y : f(x + y) = f(x)[pic] f(y) On a en outre établi que le réel k en question n’est autre que : f’(0) L’existence de fonctions f vérifiant ces propriétés est admise.

Chapitre 8 CALCUL DE PRIMITIVES 8.1 D´finition e D´finition: soit f une fonction d´finie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une e e fonction F d´rivable sur I et telle que, pour tout r´el x de I, F (x) = f (x). e e Th´or`me 1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux e e d’entre elles diff´rant d’une constante. e Il est important de bien connaˆ les primitives de fonctions usuelles : on s’y ram`ne toujours. ıtre e La table ci-dessous ne pr´cise pas

CANDIDAT : ……… EPREUVE DE MATHEMATIQUES SERIE S option SVT Spécialité Mathématiques Durée de l’épreuve : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. _____________________________________________________________________________________ Exercice I (4 points) QCM : Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées. Cochez, sans justifier, les affirmations vraies. Barème : 0,5 point par réponse juste et – 0,25 point par réponse fausse, le total des points

(x). (c) Prouver que f admet une limite réelle ℓ en +∞. Encadrer cette limite ℓ. 3. (a) Soit g la fonction définie sur ] 0, +∞[ par g (x) = f (x) − f (c) Démontrer que f admet une limite finie en zéro. Préciser cette limite. On prolonge par continuité la fonction f en zéro en posant f (0) = lim + f (x) x−→0 For (b) En déduire que pour tout réel x > 0, 4. (a) En étudiant le sens de variation de la fonction x −→ montrer que pour tout x ∈] 0; 1[, point d’abscisse zéro ? (b) Démontrer

(a)(x − a) • Pour déterminer les abscisses des éventuels points de C f où la tangente est parallèle à une certaine droite d’équation y = mx + p, il suffit de résoudre l’équation f (x) = m. (les coefficients directeurs devant être égaux) 3-6 Continuité - Equation f (x) = k • f est continue en un point a d’un intervalle I ⊂ D f si f admet une limite en a et si lim = f (a). x→a • Si f est dérivable en a alors f est continue en a. • Si f est continue et strictement croissante ou strictement décroissante

Topologie Générale - UE045 - Année 2009-2010 2009 Contrôle continu Durée - le 14 octobre : 1 heure Les documents, calculatrices non autorisés. Questions de cours Soit (E, T) un espace topologique. 1. De combien de topologies peut-on munir E s'il contenait 2 éléments? 2. Soit A un sous ensemble de E. Vérifier que GEA = GgA. et que GEA. c;A = o 3. Soit maintenant BeA c E. Vérifier que la topologie (TA)B induite par TA sur B n'est autre que la topologie