Continuité uniforme

pose pour tout entier naturel n non nul et t réel, 4 sin[(2k + 1)t] Sn (t) = . π k=0 2k + 1 n−1 Démontrer, à l'aide d'une série de Fourier, que la suite de fonctions (Sn )n≥1 converge simplement vers la fonction f sur R. La convergence est-elle uniforme sur R ? 4. Sur un même graphique, uniquement à l'aide d'une calculatrice, tracer sur l'intervalle − ; π 2 la courbe de la fonction f et l'allure de la courbe de la fonction S10 . Puis sur un autre π graphique, tracer sur l'intervalle − ; π la courbe

étant continue sur R. De plus, comme on peut sûr supposer les εk éléments de [0, 1], on a G(a + εk + iy)eixy Kn (y) = |G(a + εk + iy)| Kn (y) ≤ sup |G| Kn (y), F où F est le compact [a, a + 1] × [−2n, 2n] de C, la borne supérieure existant par continuité de G. Comme la fonction dominante est intégrable sur R, le théorème de convergence dominée donne +∞ +∞ G(a + ε + iy)Kn (y)eixy dy → −∞ −∞ g(y)Kn (y)eixy dy quand ε → 0+ . 4. L’échange est justifié par le théorème de Fubini, essentiellement

appliquant le théorème de Rolle entre α et a, on obtient c ∈ ]α, a[ ⊂ ]0, a[ tel que f (c) = 0. Exercice 34 : [énoncé] a) La fonction g : x → f (x)/x est définie, continue et dérivable sur ]0, a]. Quand x → 0, g(x) → f (0) = 0 Prolongeons g par continuité en 0 en posant g(0) = 0. Puisque g est continue sur [0, a], dérivable sur ]0, a[ et puisque g(0) = g(a), le théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée de g en un point c ∈ ]0, a[. b) xf (x) − f (x) g (x) = x2 donc g (c) = 0 donne cf (c)

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014 Enoncés Limite et continuité Généralités sur les fonctions Exercice 1 [ 01779 ] [correction] Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante tandis que f ◦ f ◦ f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. 1 f (x) = ln x2 + 1 + x Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante

Rapport de stage: Découverte des métiers de l'enseignment et de l'éducation, la diversité des milieux de ce champs professionnel, les différentes structures et les acteurs. Stage d'observation n°1: Maternelle Abbée de l'épée Les enfants y développent leurs facultés fondamentales, perfectionnent leur langage et commencent à découvrir l'univers de l'écrit, celui des nombres et d'autres domaines d'apprentissage Maitresse de référence: Carol, 12 d'expérience Carol est maitresse d'une classe de petite

Ch1 : Limites et continuité (TS) LIMITES et CONTINUITE I. LIMITES EN L’INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +∞ ∞, f(x) devient de plus en plus grand. il n'a aucun maximum. On dit alors que f(x) tend vers +∞ ∞. Ou que la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞ ∞ est égale à +∞ ∞. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en + G est + G signifie que f(x) devient de plus en plus grand dès

Limites – Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Limite d’une fonction en +∞, en −∞ 3 1.1 Limite infinie en +∞, en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Limite en un réel a 7 2.1 Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Détermination d’une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre Stéphane Clément IREM Aix Marseille 1 Algorithme de Héron La calcul de valeurs approchées de nombres irrationnels est un type de problème qui peut être une raison d’être à de nombreux contenus mathématiques, de la classe de première S en particulier. Ce qui est présenté ci-dessous a été testé en classe ; la programmation par les élèves a été faite avec l’environnement Scilab. 1.1 Le principe mathématique Pour les mathématiques

minorée (par 0) toujours grâce à (a). D’après un théorème du cours elle converge. (c) Démontrer que l vérifie: l ∈ [0, 1] et l = f (l) puis déterminer l. Solution. La continuité de f est cruciale ici. La suite étant décroissante et minorée par 0, la limite est comprise entre 0 et u0 et donc elle appartient à [0, 1[. Grâce à la continuité de f sur cette intervalle et les propriétés générales des limites des suites : l = lim un = lim un+1 = lim f (un ) = f ( lim un ) = f (l). n→∞ n→∞ n→∞ Ainsi, pour

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/2 OFFICE DU BACCALAUREAT Téléfax (221) 33 824 65 81 - Tél. : 33 824 95 92 - 33 824 65 81 11 G 26 A 01 Durée : 4 heures Séries : S2-S2A-S4-S5 – Coef. 5 Epreuve du 1er groupe MATHEMATIQUES Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. (Cf. Circulaire