Continuité uniforme

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

intermédiaires est introduit en Terminale S et ES lors du thème “Langage de la continuité et tableaux de variations” en Analyse. Ce théorème concerne les fonctions réelles continues et monotones sur un intervalle et donne l’existence de solutions d’équations. C’est donc un théorème important qui nécessite les pré-requis suivants : • Notions sur le limites • Notions sur la continuité (notamment la définition de la continuité d’une fonction sur un intervalle) • Notions sur les suites (dont le théorème

MP 4 heures Calculatrices autorisées 2014 Mathématiques 1 L’objet de ce problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace

λ, ou f (x) > λ. 4.3.2 Opérations sur les fonctions numériques Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur une partie D de R (son domaine de définition). L’ensemble D consiste le plus souvent en une réunion d’intervalles. L’étude de f (continuité, monotonie, extrémums, etc.) s’effectue cependant intervalle par intervalle. C’est pourquoi on se limitera souvent à des fonctions réelles, définies sur un intervalle I de R (évidemment l’intervalle I ne doit être ni vide, ni réduit à un point)

I. Taux d'accroissement Activité 1 : Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l'instant t est donnée par d (t)=t 2 . L'origine est t 0=0 . a) Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2. b) Comment pourrait-on définir une vitesse instantanée à l'instant t=2 ? Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a) Le taux d'accroissement de f ente a et a+h

π ] 2 Exemple Les inégalités 0 ≤ montrent que sin2 t sin2 t t2 t2 ≤ 1 t2 , avec les résultats vus sur les intégrales de Riemann, a une intégrale convergente sur [1 , +&[ ; il en est de même sur [0 , +&[ après avoir prolongé sin2 t par continuité en 0. t2 Corollaire Soient f et g deux fonctions positives, définies sur I = [a , b[ (resp. I = ]a , b] ) , localement intégrables sur I et telles que f(t) õ g(t) (t @ b-) (resp. t @ a+) . La fonction f a une intégrale convergente sur I si et

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES C ORRECTION DU BAC BLANC FÉVRIER 2009 Exercice 1 C ANDIDATS N ’ AYANT PAS SUIVI L’ ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 5 points On considère la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ex − ln x → − → − et sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère orthonormé O, ı ,  . 1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = xex − 1. g ′ (x) = e x (1 + x). e x > 0 donc g ′ (x) est du signe de x + 1 sur [0; +∞[, soit strictement positif

droite, limite à gauche 24 Exemples 25 Passage à la limite dans les inégalités 26 Continuité d’une fonction Continuité en un point 27 y y O x0 O f est continue en x0 x O x0 f est discontinue en x0 Question : Repérer f (x0) dans le graphisme à gauche. x Définition mathématique 28 Continuité globale 29 Cas extrême de discontinuité 30 “Stabilité” de la continuité … 31 Prolongement par continuité d’une fonction en un point 32 Exemples 33 Dérivabilité Dérivabilité en un point

n’est pas une borne de Ι, alors f '(a) = 0. 2 25/09/2014 Attention! • La condition nécessaire n’est pas suffisante. • La fonction x ⟼ x3 est un contre exemple. • En effet, sa dérivée s’annule en 0 mais elle ne présente pas d’extremum. Notion de continuité sur un intervalle •Soit f une fonction définie sur un intervalle Ι. Dire que f est continue sur Ι signifie que l’on peut tracer sa courbe sur Ι sans lever le crayon. •Propriété : Une fonction dérivable sur un intervalle Ι est continue sur Ι. Attention

Correction du N° 63 p 71 1. La courbe a pour équation, ? = ?? ! + ?? ! + ?? + ?, elle représente donc la fonction définie par ?(?) = ?? ! + ?? ! + ?? + ?. Il faut déterminer a, b, c et d pour connaître cette fonction. On peut donc prévoir que le texte donnera 4 renseignements. Premier renseignement et deuxième renseignement: La courbe est tangente à la droite d’équation y = -1 au point A d’abscisse 0, cette droite est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est 0 et le point A est