Contrat Aléatoire

X1 , · · · , Xn n variables aléatoires i.i.d. avec Xj ∼ Ber (θ), ¯ q(θ) = θ : X est un estimateur sans biais de θ à variance minimale. Fouad Marri, fmarri@insea.ac.ma INFÉRENCE STATISTIQUE 103 / 135 Chap. 1. Statistiques d’ordres Chap. 2. Estimation ponctuelle optimale Méthodes d’estimation Réduction de la variance Estimateur sans biais à variance minimale Estimateur sans biais à variance minimale Exemples Soient X1 , · · · , Xn n variables aléatoires i.i.d. avec Xj ∼ Ber (θ), ¯

d’intersection A de la courbe de f avec l’axe des ordonnées. d. Calculer les coordonnées des points d’intersection B et C de la courbe de f avec l’axe des abscisses . 2 3) 1 ≤ 4x x+4 6) 6 – 3 x ≥ 2 2. Déterminer la loi de probabilité d’une expérience aléatoire . Exercice 1 On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On notera F « obtenir le côté Face » et P « obtenir le côté Pile » 1) Construire l’arbre correspondant à cette expérience . 2) On note les évènements : A « on obtient une seule

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille (Xt

démarche est délicate car une panne informatique n’a que peu de point commun en probabilité et en gravité avec la même panne il y a 10 ans. Les pertes opérationnelles ont plusieurs caractéristiques : premièrement, elles surviennent à des dates aléatoires ; deuxièmement, il s’agit souvent de grosses pertes ; enfin, il est impossible de trouver les outils de couverture sur les marchés financiers. Ces pertes peuvent être vues comme des dommages subis par l’entreprise, et l’achat d’une protection

Seconde 2 011 – 2 012 PROBABILITES - Cours page n° 1 1) Loi de probabilité sur un ensemble fini : Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l'on ne peut prévoir ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée. On note : E = {x1 ; x2 ; ... ; xn } l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Exemple : On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6 et on lit le numéro porté sur la face supérieure. L'ensemble

statisticiens supposent la population d'une taille donnée et lui associent une loi de probabilité, c'est le rôle de l'inférence statistique ou statistique mathématique. Dans ces conditions, l'échantillon est interprété comme un ensemble de variables aléatoires dont on possède une réalisation supposée issue de tirages indépendants. L'analyse des propriétés de l'échantillon permet d'estimer certaines caractéristiques de la population, de déterminer la validité de ces estimations ou de certaines hypothèses

Statistique Plan : Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 : Dénombrement et analyse combinatoire : Calcul de probabilité : Variable aléatoire discrète : Loi de probabilité discrète Chapitre 1 : Analyse combinatoire et dénombrement I . Intuition On va travailler sur des ensembles mathématique ( a,b,c,d ) ; ( 1,2,3,4 ) on note souvent un ensemble , cet ensemble fini est composé de N élément, on dit alors que cardinal de (  ) = N ( nombre total d’élément dans l’ensemble  ). L’objectif

spectacles N auxquels il a assisté. Donner la loi de probabilité de la variable N. N= 4 5 6 7 8 P(N=4)=0.09 P(N=5)=0.12 P(N=6)=0.36 P(N=7)=0.18 P(N=8)=0.25 Calculer l’espérance E(N) Tu sais le faire 3)On note S la variable aléatoire indiquant la somme déboursée pour un abonné par saison. Quelle relation lie S et N S=15N+100 Sur quelle dépense moyenne par abonné peut compter le directeur de la salle ? Tu remplaces N par l’espérance dans S=15N+100 Exercice 2 Une urne

. (0,25 pt) 2) On ne conserve plus dans le tiroir qu’une paire de chaussures noires et une paire de chaussures rouges. On tire successivement et sans remise une chaussure du tiroir jusqu’à ce que le tiroir soit vide. On note X la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la deuxième chaussure noire. (0,5 pt) a) Justifier que X prend les valeurs 2, 3, 4. b) Montrer que la loi de probabilité de X est : p(X = 2) = ; p(X= 3) = et p(X=4) = . c) Calculer son espérance mathématique et

et son pouvoir informatif. Les modèles à information hétérogène Dans ces modèles, chaque investisseur i reçoit une information plus ou moins précise sur le prix futur des actifs risqués. Concrètement, il observe la réalisation d’une variable aléatoire yi corrélée avec le revenu futur du titre risqué. Le niveau de précision de l’information peut varier ou être constant à travers les investisseurs. Le précurseur dans ce domaine a été Grosmann (1976). L’objet de son papier est de montrer que le prix