Contrat Aléatoire

de la théorie du calcul stochastique. Chaine de Markov en temps discret: Définition: Les processus stochastiques : définition et classification Définition: Un processus stochastique {X_{t},t∈T} est une collection de variables aléatoires indexées par un paramètre t et définies sur un même espace de probabilités (Ω,F,P). La variable X_{t} représente l'état du processus au temps t et l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour cette variable est appelée l'espace des états

grande quantité, le comprimé d’un médicament. 1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (µ, σ2 ) de moyenne µ = 900 et d’écart-type σ = 7. a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10−2 . b. Déterminer l’entier positif h tel que P (900 − h X 900 +

Sommaire I Rappels A) B) C) D) Variables aléatoires Médianes et quantiles Quelques lois Statistiques inférentielles et estimations II Modélisation linéaire A) Corrélation 1) Le coefficient de Pearson 2) Le coefficient de Spearman B) Régression linéaire III Régression logistique IV Modèle multiple A) Modèle linéaire multiple B) Modèle logistique multiple V Bonus sur les tests Ronéo n°1 – Cours n°1 UE11 2 sur 10 I. Rappels A. Variables aléatoires On utilise la modélisation pour décrire de

le sondage aléatoire simple : dans la population, chaque individu de la population a une chance non nulle de faire partie de l'échantillon. On laisse le hasard décider des individus à interroger et on effectue l'enquête sur ceux-ci. Cette méthode est très rare. Une autre méthode probabiliste est le sondage aléatoire stratifié : on prend des strates qu'on connaît dans une population (par exemple les régions lors d'une enquête nationale) et, dans chaque strate, on tire un échantillon aléatoire. En gros

frais pour un coût de 58 €. On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euros, réalisé par l’entreprise à la vente de cet objet. (a) Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euros) : 50 ; 12, 50 ; 5 et −8. (b) Démontrer que la probabilité pour qu’un objet présente le seul défaut S est 0, 04. (c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un tableau

100 000 pièces. On considère, par expérience, que 0,1 % des vis sont non conformes (taille, filetage,…). Afin de tester un lot, on prélève des échantillons de 300 pièces (on assimilera ces prélèvements à des tirages avec remise). Appelons la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de vis non conformes dans un échantillon de 300 pièces. 1. Déterminer la loi suivie par X, ainsi que ces paramètres. 2. Par quelle loi peut-on approcher la loi précédente. On justifiera la réponse. 3. En utilisant

{ x1 , x2 ,..., xn } est l’ensemble des valeurs pouvant être prises par une grandeur aléatoire. On la note alors classiquement X et on l’appelle « variable aléatoire discrète ». On peut écrire : pi = p ( X = xi ) . Espérance et variance d’une loi de probabilité discrète L’espérance d’une loi de probabilité discrète est donnée par : n E = ∑ xi pi i =1 Si l’on utilise la notion de variable aléatoire, on pourra écrire : E = E ( X ) . La variance d’une loi de probabilité discrète est donnée

décision « certaines », de décisions « aléatoire », et de décisions incertaines. 1 — Les décisions « certaines » : ces décisions se caractérisent par un risque nul dans la mesure où l’on connaît le résultat de la prise de décision dans 99 % des cas. Notons toutefois qu’un risque totalement nul n’existe pas. Les décisions certaines sont souvent les décisions les moins importantes c’est-à-dire les décisions de gestion courantes. 2  – Les décisions « aléatoires » : Ces décisions sont un peu moins certaines

comme les tests du ratio de vraisemblance, dans les test de Chow utilisés en économétrie, ou encore dans l'analyse de la variance (ANOVA) via le test de Fisher. Caractérisation Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, U1 et U2, distribuées chacune selon une Loi du χ² et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivement d1 et d2 : . La densité de probabilité d'une loi de Fisher

i=1 10 = 71:056 Et sa variance est 1 X (xi = 10 i=1 10 s 2 = A Calculer x)2 2 4 Les distributions d’échantillonnage. 1.4 Type des échantillons : Dans notre cours, nous allons travailler sur l’échantillonnage aléatoire simple, avec deux cas : 1. Non Exaustif : Avec Remise car la taille de la population est grande. 2. Exaustif : Sans Remise car la taille de population est …nie. 2 2.1 Les distributions d’échantillonnage. Importance des distrubutions d’échantillonnage