Coplanaire

questions sont indépendantes. 1°) 2°) 3°) 4°) 5°) 6°) 7°) 8°) 9°) 10°) 11°) Le point D appartient-il au plan HIJ ? Les points H , D , I et J sont-ils coplanaires ? Les droites ( IJ ) et ( HD ) sont-elles sécantes ? Justifier que les droites ( IJ ) et ( AB ) sont parallèles. Les droites ( IJ ) et ( DC ) sont-elles parallèles, sécantes ou non coplanaires ? La droite ( IJ ) et le plan ( DHG ) sont-ils parallèles ou sécants ? Quelle est la position relative des droites ( AC ) et ( BD ) ? Citer un point

non, car les points A , D et E sont dans une face ( ADHE ) du parallélépipède, mais pas le point F , donc les droites ( AD ) et ( EF) ne sont pas coplanaires. 2. Les droites ( AE ) et ( CG ) sont-elles parallèles : oui, car elles sont parallèles à une même droite, la droite ( BF ) (ou la droite ( DH ) ) 3. Les points A , E , C , G sont-ils coplanaires : oui, car les droites ( AE ) et ( CG ) sont parallèles. 4. La droite ( AD ) et le plan ( EGH ) sont-ils sécants : non, car la droite ( AD ) est parallèles

mettre à l'échelle. * L'équation de coplanarité. L'approche est un peu différente, même si elle est géométriquement équivalente, on écrit que les vecteurs , et sont coplanaires. Cette méthode est la base de la résolution de l'orientation relative au sein de la communauté de la vision par ordinateur. Les trois vecteurs étant coplanaires, on exprime que leur produit mixte est nul, ce qui peut s'écrire comme une forme quadratique basée sur une matrice, appelée "matrice essentielle" (terme consacré).

Donne trois vecteurs coplanaires dont l’un est le vecteur AE b- Ecris une combinaison linéaire entre ces trois vecteurs. Consigne 3 On muni l’ensemble W d’une base ( i , j, k ) et on donne les vecteurs u1 ;-1; 1 ; v 1 ; 1 ; -1 ; w 2 ; 1+ a ; -3 ; z – 1 ; 0 ; b avec a ∈R ; b ∈R . 1) Trouve les nombres réels a et b pour lesquels les vecteurs w et z sont colinéaires. 2) Trouve le nombre réels a pour lequel les vecteurs u ; v et w sont coplanaires. Consigne 4 Le triplet

(→ w ,→ v ,→ w ) sont liés Définition 6 Soit E un espace affine, on dit que deux droites D et D de E sont coplanaires, s’il existe un plan P de E qui contient les droites D et D . Exemples 6 1. Deux droites parallèles sont toujours coplanaires. 2. Deux droites dont l’intersection n’est pas vide, sont toujours coplanaires. F IGURE 1.1 – Droites coplanaires F IGURE 1.2 – Droites non coplanaires Page 11 sur 78 1 M.HOUIMDI Théorème 1 − − Soient E un espace affine de dimension 3, D = D(A, → u ) et

composantes et vérifiez par calcul. [pic] Quatrième exercice Décomposez le vecteur [pic] puis mesurez la longueur de ses composantes et vérifiez par calcul. [pic] c) Application du calcul vectoriel au cas des forces coplanaires a) Résultante de deux forces coplanaires Tracez sur cette feuille !!! Premier exercice Dans le dynamique, tracez la résultante des deux forces et positionnez sa direction dans l’épure de situation. Deuxième exercice Dans le dynamique, tracez la résultante

longueurs et des longueurs, - démontrer qu'un triangle est rectangle. VIII. GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE 1) Positions relatives de • On observera des droites non coplanaires dans des situations deux droites dans simples. l'espace : droites coplanaires, droites non coplanaires. • Connaître le vocabulaire : droites coplanaires, droites non coplanaires • Coder un angle droit dans l’espace. • Reconnaître deux droites orthogonales. 76 Programme de Mathématiques du Premier Cycle – Classe de Quatrième –

un vecteur normal à ce plan et un point de ce plan. − → − → 3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases D ÉFINITION 3.5 ♥ Vecteurs coplanaires Trois vecteurs non nuls sont coplanaires si l’un des trois est élément du plan engendré par les deux autres (ou ce qui est équivalent si l’un de trois est combinaison linéaire des deux autres). Remarque 3.4 En prenant la négation de ce qui précède : trois vecteurs sont non coplanaires si et seulement si on ne peut écrire aucun des trois comme combinaison linéaire

il passe exactement une droite notée ( AB ) . • Par trois points non alignés A, B, C de l’espace il passe exactement un plan noté parfois ( ABC ) ou simplement ABC : • Si quatre points appartiennent à un même plan on dit qu’ils sont coplanaires, sinon ils forment un tétraèdre (c’est-à-dire une pyramide à quatre faces triangulaires) : A ∉ BCD B ∉ ACD C ∉ ABD D ∉ ABC • Deux plans π1 et π2 de l’espace peuvent être : confondus : π1 = π2 - 15 - 1 re CD – math I – Géométrie

orthogonale au plan . Proposition 2 La sphère de centre O et de rayon 2 est tangente au plan . Proposition 3 L'intersection des plans et est la droite dont une représentation paramétrique est : . Proposition 4 Les droites et sont coplanaires. 5 points exercice 3 - Commun à tous les candidats On considère les suites et définies pour tout entier naturel par : et . 1. Sont représentées ci-dessous les fonctions définies sur l'intervalle [0 ; 1] par pour