Cos Et Sa Fonction

le système graphique Matlab (interfaces homme-machine, graphiques, images, animations). • le langage de programmation Matlab. • une librairie de fonctions mathématiques Matlab. un système d'interfaçage facilitant l'exécution de programmes C ou Fortran sous Matlab. une collection de toolboxes (boîtes à outils) regroupant un ensemble de fonctions spécifiques à un thème. C'est un langage interprété, c'est-à-dire que les instructions sont exécutées immédiatement après avoir été introduites. Il

sin(t/2)) cos(nt) dt 0 Exercice 4 On pose +∞ un = 0 0 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n 0 [ 03584 ] [correction] +∞ t − [t] dt t(t + n) où [t] représente la partie entière de t. a) Justifier la bonne définition de la suite (un )n b) Montrer que pour tout A > 0 A sin t dt t d) Etudier la limite puis un équivalent de A Jn ∼ √ 3 n Exercice 2 [ 00157 ] [correction] Pour n ∈ N , on pose sin(2nt) cos t dt sin t In = 0 dx pour n ∈ N, n 1 + xn 2 a) Déterminer une suite de fonctions (fn ) telle

les solutions de l’équation différentielle : 3 y’ – 2 y = 0 : L’équation s’écrit : y’ = y . Les solutions sont les fonctions : x Ce avec C constante. (0,5 pt) 2) Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle y’ + 5 y = 0 telle que la courbe représentative de f passe par le point A( 0 ; – 1 ) . L’équation s’écrit : y’ = – 5 y . Les solutions sont les fonctions : x Ce– 5 x avec C constante. (0,5 pt) La solution f dont la courbe passe par A(0 ;–1) vérifie : f(0) = – 1 d’où

Sous la direction de : Michel PONCY Yves GUICHARD Marie-Christine RUSSIER Jean-Louis BONNAFET René GAUTHIER Yvette MASSIERA Denis VIEUDRIN Jean-François ZUCCHETTA Sommaire CHAPITRE 1 Le second degré CHAPITRE 2 Étude de fonctions CHAPITRE 3 Dérivation CHAPITRE 4 Applications de la dérivation CHAPITRE 5 Les suites numériques CHAPITRE 6 Géométrie plane CHAPITRE 7 Trigonométrie CHAPITRE 8 Produit scalaire CHAPITRE 9

¨ § ¥ ¦Ex-M6.1 Moments des forces et condition d’équilibre [d’après Concours Mines-Ponts] Soit un fil inextensible et sans masse, fixé en A à une socle horizontal AB (de longueur a), et passant en B sur une pou- lie parfaite, de très petites dimensions. En un point M , tel que AM = a, est fixée une masse ponc- tuelle m et, au bout du fil, est aussi accrochée une masse m′ en N . Le dispositif est placé verticalement dans le champs de pe- santeur −→g . g A M (m) N (m’) B a a θ ek 1) Établir

CHAPITRE 7 FONCTIONS CIRCULAIRES I. RAPPEL 1. UNITES DE MESURE Il existe trois types d’unités de mesure : le degré : un angle plat mesure 180 degrés. Le radian : un arc de cercle de mesure un radian a même longueur que le rayon du cercle. Le grade : un angle plat mesure 200 grades (utilisé en topographie). 2. CONVERSION Si les mesures en degrés, radians, grades d’un même angle sont respectivement a, b et c, alors on peut passer de l’une à l’autre grâce aux relations suivantes :

de MATHEMATIQUES n◦ 1 21/09/2001 (3 heures) EXERCICE 1 (deux questions ind´pendantes) e π π π π π 1.a. En utilisant = − , calculer cos et sin . 12 4 6 12 12 √ √ √ √ b. R´soudre, dans IR, l’´quation ( 6 + 2) cos x + ( 6 − 2) sin x = 2. e e ´ 2. Soient a, b, c trois r´els. Ecrire sous forme de produit l’expression e A = cos(a + b + c) + cos a + cos b + cos c . EXERCICE 2 1 S √ et un = √n . Pour tout n ∈ IN∗ , on pose Sn = n k k=1 √ √ a. Par r´currence, montrer que ∀n ∈ IN∗ Sn ≤ n − 1 + n. e √

13 13 15 16 16 18 20 21 Chapitre 4. Fonctions d’une variable réelle 1. Premières définitions 1.1. Fonction injective, surjective et bijective 1.2. Fonctions paires, impaires et périodiques 1.3. Fonctions monotones 2. Limite d’une fonction en un point 2.1. Opérations sur les limites des fonctions en un point 3. Continuité d’une fonction en un point 3.1. Propriétés des fonctions continues 4. Fonctions monotones : approfondissements 5. Dérivée d’une fonction en un point 23 23 24 24 24 25 26 27 28

ωt par le procédé de la transformée des dérivées successives. On a : f (t) = t sin ωt ⇒ f (0) = 0 f ′(t) = sin ωt + ωt cos ωt⇒ f ′(0) = 0 f ′′(t) = −ω2t sin ωt + 2ω cos ωt En utilisant la formule L( f ′′(t))(p) = p2L( f (t))(p)− p f (0)− f ′(0), on arrive à L[−ω2t sin ωt](p) = p2L[t sin ωt](p)− p.0− 0, or : L[−ω2t sin ωt](p) = −ω2L[t sin ωt](p)+ 2ωL[cos ωt](p) = −ω2L[cos ωt](p)+ 2ωp p2 + ω2 on en déduit que L[t sin ωt](p) = 2ωp (p2 + ω2)2 . École Nationale Supérieure Polytechnique de Douala

rendre le lundi 2 novembre ; aucun retard ne sera toléré !) La fonction cosinus : On considère la fonction f définie par f ( x ) = cos x et on appelle c sa courbe   représentative dans un repère orthogonal O ; i ; j . ( Unités : 1cm pour π 4 en abscisses et 1cm pour ) 1 en ordonnée. 4 1°) a) Donner l’ensemble de définition de la fonction f qu’on notera D f . b) ∀x ∈ D f , exprimer f ( x + 2π ) , puis f ( − x ) en fonction de f ( x ) . c) En s’aidant alors de dessins, en déduire des symétries