Covariance

donnent à l’ensemble une sorte de structure. Avant d’aller plus loin dans l’exploration de cette structure, il convient de se pencher sur une notion importante, la fonction d’autocovariance qui est aux séries temporelles ce que la matrice variance-covariance est aux variables aléatoires classiques. Soit X , t = 1 …… T une série temporelle, avec T : nombre d’observations • Moyenne et variance : Ce sont les premiers moments d’une série temporelle, la moyenne est le moment d’ordre 1 et la variance

contrôler la dispersion des projections autour des centres de gravité. Avant, par exemple, de conclure que l'âge est très important en liaison avec le premier facteur (et pas avec le second), il est nécessaire de calculer la matrice des variances-covariances interne à chacun des groupes. F2 20% * 35/44 ans F1 * 55/64 ans * 65 ans et plus * 18/24 ans * 25/34 ans * 45/54 ans 70 40% 16 ménagères âgées de 18 à 24 ans ont été projetées dans le plan (F1 et F2). Les projections données dans les figures

négociables. 1 – 4) Révisions statistiques Soit X, Y, Z les variables aléatoires x, y, z leurs réalisations a, b, c des coefficients. A.D.A 7 PLACEMENTS a) Espérance mathématique E(x) = Σ xipi(x) x b) La moyenne c) La variance d) La covariance Cov (x – y) e) La corrélation f) Quelques règles de calcul i) Espérance mathématique E(a) = a E(ax) = aE(x) E(x+y) = E(x) + E(y) E(ax+by) = aE(x) + bE(x) ii) Variance V(a) = 0 V(ax) = a²V(x) V(x+y) = V(x) + V(y) + 2Cov (x+y) V(x+y) = V(x) + V(y)

t1 , t2 , . . . , tn ⊂ T (Xt1 , Xt2 , . . . , Xtn ) est un vecteur aléatoire Gaussien d’ordre n. Remarque : Il est facile de constater que l’on peut associer à un processus gaussien réel, un processus gaussien complexe ayant la même fonction de covariance. Ces notions que nous venons d’aborder ainsi que les divers exemples vont nous permettre d’entamer la modélisation des phénomènes à l’aide d’équation aux dérivées partielles stochastique, ces équations nécessite une forte connaissance de mathématique

aléatoires X(t1 , ω) et X(t2 , ω) : pX1 ,X2 (x1 , x2 ) est connue ∀t1 , t2 . La connaissance à deux instants nécessite donc de connaître le lien statistique entre X(t1 , ω) et X(t2 , ω). Notion de covariance : On appelle CX (t1 , t2 ) = E {X(t1 )X(t2 )∗ } = x1 x∗2 pX1 ,X2 (x1 , x2 )dx1 dx2 fonction de covariance. 1 Il s’agit dans le cas général d’une fonction bivariée qui permet de quantifier un certain lien statistique entre les variables aléatoires X1 et X2 . Dans la mesure où l’argument de l’espérance

Par le TCL on a ¯ √ ¯ √ Xn − 1/λ L L N (0, 1) ou n (Xn − 1/λ) N (0, 1/λ2) . n 1/λ Théorème 31. Soit (Xn)n 1 une suite iid à valeurs dans Σ de X1 est finie (c-à-d si Σii < ∞ pour i = 1, , d) alors √ ¯ n (Xn − E[X1]) L Rd tels que la matrice de covariance Nd(0, Σ) . La δ-méthode Théorème 32. (La δ-méthode, cas unidimensionnel) Soit (Yn)n 1 une suite de v.a. réelles. On √ L N (0, σ 2). Si g: R → R est une fonction continûment dérivable au suppose que n (Yn − µ) 1 point µ (c-à-d g est C dans

Fonction de r´partition . . . . . e Vecteurs al´atoires ` densit´ . . . . . . e a e 3.3.1 D´finition . . . . . . . . . . . . e 3.3.2 Densit´ marginale . . . . . . . . e 3.3.3 Changement de variables . . . . 3.3.4 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 3.3.5 Covariance . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Loi et esp´rance conditionnelles e Lois b´ta, gamma, du chi 2, de Student e Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et

statistiques pour observer les réalisations de εt. * Pour gérer l’incertitude sur le modèle, on fait des hypothèses sur ces variables aléatoires εt. Plus précisément, on fait des hypothèses sur son espérance mathématiques ( moyenne), sa variance, la covariance entre εt et εt+1 et éventuellement sur la loi de probabilité de εt. On suppose généralement que les perturbations résultent de tirage indépendant sur un échantillon à partir d’une Loi Normale d’espérance nulle et de variance constante. εt↝N( 0

colonne, les statistiques de la trace dans la 3eme colonne, les log-vraisemblances dans la 4eme colonne. cor ! pour calculer la matrice des corrélations entre les séries d’ groupe, syntaxe : nom_groupe.cor un cov ! pour calculer la matrice de variance-covariance d’ groupe de séries, syntaxe : nom_groupe.cov un genr ! même utilisation que series mais permet de générer des séries multivariées hpf ! pour lisser une série en utilisant le …ltre de Hodrick-Prescott Syntaxe : hpf(n) série_initiale série_…ltrée

Min������������′������������ sc. ������′������=( ������) –������������ Avec : ������: le vecteur colonne (������1, 2,…,) et ������′ son transposé ������: la matrice covariance ������: Le vecteur colonne (������ ������1 −������������,2 −������������,…, ������������ −������������) Le lagrangien peut s’écrire de la façon suivante : ������=x′vx−������ (x′E− E( R) –Rf) La condition