Définition par récurrence

SUITES NUMERIQUES I Raisonnement par récurrence Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme

Rappel (raisonnement par récurrence) Pour n ∈ N Pn est une propriété qui peut être vraie ou fausse. Si P0 est vraie et si lorsque Pn est vraie alors Pn +1est encore vraie, Pn est vraie pour tout entier n. Pour vérifier que Pn est vraie pour tout entier n on vérifie que : 1) P0 est vraie 2) si Pn est vraie (hypothèse de récurrence) alors Pn +1 est encore vraie. Définition par récurrence de la puissance nième d’une matrice Si A est une matrice 2 × 2 , A n est définie par récurrence : P n est la propriété

chapitre : 1) Donner la définition d’une suite et utiliser les notations adéquates 2) "Déterminer" le terme général d’une suite 3) Utiliser les raisonnements par l’absurde et par récurrence 4) Etudier la monotonie d’une suite. 5) Etudier la nature d’une suite 6) Résoudre certains exercices et problèmes implicant des suites. Plan du chapitre : 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations. 1.2 : Construction sommaire de R. 2) Suites numériques: 2.1 : Définitions et notations. 2.2 : Suites

Exercices sur le raisonnement par récurrence Exercice 1 : Soit  nv la suite définie par :  0 0;1v  et 1 1 2 n n v v n      a) Prouver par récurrence la propriété P : 0 1n nv  b) Prouver que  nv est croissante. c) On pose 0 cosv   avec π 0; 2       , montrer par récurrence que cos 2 n nv        Exercice 2 : Prouver par récurrence que, 2, 2n n n    est un nombre pair. Exercice 3 : Soit la suite  nu définie par : 1 1u  et 1 , 1 n n n u

suffisantes . . . . . . Raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Conseils appuyés pour bien rédiger . . . . . . . . . 1.2.2 Quelques figures usuelles du raisonnement . . . . . 1.2.3 L’axiome de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . 1.2.6 Résolutions d’équations ou d’inéquations . . . . . . 1.2.7 Équations ou inéquations à un paramètre . . . . . Ensembles .

librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme

Effectivement, on peut se demander dans quelle mesure Jean-Baptiste Chassignet nous donne dans ce poème une véritable « définition Baroque » de la vie. Il s’agira tout d’abord de montrer que l’on observe des structures et des phénomènes de récurrence significatifs pour ensuite exalter l’expression de la vie associée à un songe. Ce qui nous dévoile ces structures et ces phénomènes de récurrence significatifs, c’est d’abord des constructions récurrentes et ensuite de nombreux phénomènes de répétition.

succession de photos prises à intervalles réguliers. Définition Une suite, notée (un) avec n ∈N, est une succession infinie de nombres un indexés (numérotés) par un nombre n qui est un entier naturel, soit u0, u1, u2, u3, … En général le terme initial est u0, mais la suite peut parfois commencer par u1 , ou par u2 , selon les circonstances. Comment se donne-t-on une suite ? Le plus souvent, Une suite est définie • par une relation de récurrence de la forme un+1 = fonction de un , c’est-àdire

par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers. Indication 4 Correction Vidéo [000151] Récurrence Exercice 15 Montrer : n 1. ∑k= k=1 n 2. n(n + 1) 2 ∑ k2 = k=1 Correction ∀n ∈ N∗ . n(n + 1)(2n + 1) 6 ∀n ∈ N∗ . Vidéo [000153] Exercice 16 Soit X un ensemble. Pour f ∈ F (X, X), on définit f 0 = id et par récurrence pour n ∈ N f n+1 = f n ◦ f . 1. Montrer que ∀n ∈ N f n+1 = f ◦ f n . 3 2. Montrer que si f est bijective alors

1857) – ci-contre. I. Définition et représentation graphique 1) Définition d'une suite numérique Exemple d'introduction : On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs rangés dans l'ordre croissant : 1, 3, 5, 7, … On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite de nombres tel que : u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, … On a ainsi défini une suite numérique. On peut lui associer une fonction définie sur par u : Définitions : Une suite numérique (un)