Degré d'un polynôme

Résolution des équations du premier degré . . . . . . . . . 4.2 La propriété du produit dans les nombres réels . . . . . . . 4.3 Résolution des équations du deuxième degré . . . . . . . . 4.3.1 Deux méthodes de résolution et la formule de Viète 4.3.2 Les équations du deuxième degré camouflées . . . . 4.4 Résolution des équations de degré supérieur à 2 . . . . . . 4.5 Systèmes d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . 5 Factorisation de polynômes 5.1 Polynômes de degré n . . . . . . . . . . . .

élément. Dans cette catégorie, on a 4.2.1 Intégration des fractions rationnelles Nous avons vu que les fractions rationnelles se décomposent (sur R) en éléments simples. Pour intégrer une fraction rationnelle, il suffit donc de savoir intégrer les polynômes, ainsi 1 ↵x + que les fonctions (avec p 1), et (avec p 1). (x a)p (ax2 + bx + c)p Pour p = 1 Z dx = ln(x a) + C, x a et pour p 2, Z dx 1 1 = . (x a)p p 1 (x a)p 1 ↵x + est un peu plus délicat. On se restreint (ax2 + bx + c)p bien sûr au cas où le

. Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit L’évolution récente de l’enseignement des disciplines scientifiques dans les C.P.G.E s’est concrétisée par la définition d’un nouveau programme de première année en 2003 et de seconde année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de combler le fossé grandissant entre la classe terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par

Résoudre les équations suivantes, en faisant attention aux problèmes de définition. x 3x + 28 − x2 = 0 y −10 x2 + 5x + 15 = 0 z 3x2 − 1 = 6x √ √ { x + 15 = x2 + 2x − 15 Exercice 2 Soit P(x) = x3 − 7x2 + 2x + 40 un polynôme de degré trois. 1. Calculer P(4). 2. Déterminer un polynôme Q tel que l’on ait P(x) = (x − 4) Q(x) pour tout x ∈ 3. Calculer les racines de Q. En déduire sa factorisation. 4. Factoriser P, puis étudier son signe sur R. R (on dressera un tableau de signe). Exercice 3

+∞ ax + b + 0 - 2/ Les fonctions polynômes de degré 2 La fonction carré La fonction carré est définie sur R par f(x) = x² f'(x) = 2x x -∞ 0 +∞ f'(x) - 0 + f(x) +∞ -∞ 0 Sa représentation graphique est une parabole. ( forme = u ou n ) Inégalités a et b sont deux réels négatifs a ‹ b ssi a² › b² a et b sont deux réels positifs a ‹ b ssi a² ‹ b² Cas général Les fonctions polynômes de degré 2 sont les fonctions f définies sur R par f(x) =

matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens

(son carré est identique à la coïncidence) (2) L’involution est un automorphisme pour l’addition : = . Si . = (3) L’involution est un automorphisme pour la multiplication: = .Si = = . La conjugaison est un automorphisme du corps complexe. 2.5. Module d’un nombre complexe 2.5.1. Définition C’est le nombre réel, positif ou nul ; définit ainsi une application de f: . . Le module de se note +: . . Par définition ; = . On 2.5.2. Valuation sur complexe L’application possède les trois propriétés de la valeur

intérieur: Un point a est intérieur à l’ensemble A⊂IR ssi il est le centre d’un intervalle ouvert entièrement contenu dans A Aucun point n’est intérieur à 1 est intérieur ni à Remarque : Tout les points d’un ensemble ouvert lui sont intérieurs ⇔ Si tous les points de A lui sont intérieurs, A est ouvert Proposition : Toute intersection d’un nombre fini d’ouverts/fermés est un ouvert/fermé Remarque : L’intersection d’un nombre infini d’ouverts peut-être un fermé Ex : qui est fermé ! Proposition :

une démonstration ; • pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique ; • faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche ; • pratiquer une lecture active de l’information (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (graphique, numérique, algébrique, géométrique) ; • utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d’un problème ; • communiquer à l’écrit et à l’oral. Dans la mesure du possible, les problèmes posés s’inspirent

HÔTELLERIE Michel CHARRIER 18 janvier 2008 2 Chapitre 1 Equations et polynômes du troisième degré 1.1 1.1.1 Définitions Equation et polynôme du troisième degré Equation Toute égalité de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, b, c, et d sont des coefficients réels, a étant non nul. On se propose de donner des méthodes de résolution dans R dans le cas où une solution est "évidente". Polynôme du troisième degré à coefficients rationnels Toute expression de la forme : P (x) = ax3 + bx2 + cx