Entier algébrique

recul intervient au moment même où le marché freine brusquement. Après avoir progressé de 4,7 % en 2003, le chiffre d’affaires ultra-frais est juste stable depuis le début de l’année. Parmi les familles les plus touchées figurent les yaourts au lait entier premium, dont les ventes reculent de 6,6 % depuis janvier après une année 2003 à + 2,9 %. Mais la palme du revirement le plus cinglant revient aux allégés, avec une claque particulièrement sévère pour les desserts light, dont les ventes chutent de

deuxième modèle Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal entre les années 1996 et 2006 est d’environ 20 %. On décide alors de modéliser la situation à l’aide d’une suite géométrique de raison 1, 2. Pour tout entier naturel n, un désigne une estimation du nombre de personnes, en milliers, vivant avec le VIH au Sénégal pendant l’année 1996 + n. Ainsi (un ) est la suite géométrique de premier terme u0 = 9 et de raison 1, 2. 1. Exprimer un en fonction de n. 2. Déterminer

vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de

dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est vraie. Exemple 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 6, 2n

utiisée. Pour tout réel x, E(x) désignera la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grand entier k inférieur ou égal à x, donc tel que : k ≤ x < k + 1. Par abus de langage, on confondra « application polynomiale » et « polynôme ». 0, n désignera l’ensemble des entiers k tels que : 0 ≤ k ≤ n. PREMIÈRE PARTIE Rn [X] désigne l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, n étant un entier naturel non nul. 1 - Si x0 , x1 , x2 , . . . , xn sont (n + 1) réels distincts, montrer

2 ` ALGEBRE Exercice 2.1. Soit E l’espace vectoriel des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres

∈ . Par conséquent u ln ln 2 − ln 2 = −e ( ) + 1 = −e 2 1 2 : comme u(0) = 1, on a K = -1 et donc 1 1 + 1 = − + 1 = : Proposition 2 Vraie. 2 2 3. On considère la suite ( un ) définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 7 un . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 7 . » Soit P(n) la proposition « 0 ≤ un ≤ 7 ». • • P(0) est vraie puisque u0 = 2 est compris entre 0 et 7. Supposons P(n) vraie cad que 0 ≤ un ≤ 7 : alors 0 ≤ 7un ≤ 49 donc 0 ≤ 7un ≤ 49 puisque

« le gardien arrête le n-ième tir ».On a donc P(A1) = 0,7 . 1)a) Donner pour n [pic] 1, les valeurs de P(An+1/An) et P(An+1/[pic]) b) Exprimer P(An+1[pic]An) et P(An+1[pic][pic]) en fonction de P(An) . c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n, on a : P(An+1) = 0,2P(An) + 0,6 . 2) On pose à présent, pour n [pic] 1 , pn = P(An) et un = pn – 0,75 . a) Démontrer que (un) est une suite géométrique de raison 0,2 . b) En déduire une expression

que la fonction Exp est la fonction réciproque de ln. La notation puissance : ex, est due à Euler * Etymologie : du latin exponer = exposer : placer à côté. Le terme est dû à Jacques (Jakob) Bernoulli. * Ensemble de définition : R tout entier, image de ]0 , + [ par la fonction ln (par réciprocité). Périodique : non. * Fonction dérivée : (ex)' = ex. * Nom de la courbe associée : pas de nom spécifique (courbe exponentielle de base e) * Définitions possibles : celle de Jakob

suite est borné , si elle est a la fois majorée et minorée La suite Un est croissante ( resp strictement croissante )lorsque pour tout entier n , on a : Un < Un+1 ( resp Un < Un+1) La suite Un est décroissante ( resp strictement décroissante ) lorsque pour tout entier n, on a Un > Un+1 (resp Un > Un+1 ) SUITES ARITHMETIQUES Reel r tel que , pour tout entier n , on ait Un+1 = un+r R = raison de la suite. Sn = u0+u1+ ….+un-1 est : Sn = n ( U0 + Un-1) 2 SUITES GEOMETRIQUES Reel