Entier algébrique

année. De plus, le client décide de rajouter 950 € tous les 31 décembre de chaque année. On désigne par un (n Î ) la somme disponible après n années écoulées depuis le 1er janvier 2000, ainsi u0 = 1000. 1. Calculer u1, u2 et u3. 2. Établir, pour tout entier n Î , la relation : un+1 = 1,05 un + 950 3. Exprimer un en fonction de n. (On pourra chercher a tel que a = 1,05a + 950 et poser vn = un - a) Quel sera le capital du client après 10 années écoulées depuis le 1er janvier 2000 ? Exercice 5 (8 points)

A : 1. 2000x (1+4,7100)= 2094. 2. Les formules possibles sont = C2*$D$2 et =C2*1,047 3. a. On aura chaque terme qui sera multiplié par 1,047. Donc la suite est géométrique de raison 1,047 et de premier terme U0= 2000. b. Ainsi pour tout entier naturel n, Un=2000x1,047n c. U20= 2000x1,04720=5011,45. Il lui fallait 5000 euros. Donc Alexandre aura l’argent nécessaire. Partie B : 1. 2. a. L’élévation entre les deux points est de : 6189-5220= 969 mètres pour un parcours de 1,6 Km.

Cuisson | 45 min | Coût de la recette | Pas cher | Niveau de difficulté | Facile | ------------------------------------------------- Ingrédients * Pour le caramel : * 120 g de sucre en poudre * Pour la crème : * 50 cl de lait entier * 2 gousses de vanille * 100 g de sucre en poudre (ou de cassonade) * 2 œufs * 4 jaunes d'œufs ------------------------------------------------- Préparation 1 Commencez par réaliser le caramel, versez le sucre dans une casserole

cours sur les nombres relatifs : repérage - cinquième http://www.ilemaths.net/maths_5-nombres-relatifs-cours.php Fiche de mathématiques nombres relatifs Nombres Relatifs : Repérage I. Nombres relatifs Exemple : bulletin météorologique : Aujourd'hui, il fait 11°C à Tunis, 7°C à Toulouse, -3°C à Paris, -21°C à Montréal. Définition : Les nombres négatifs et les nombres positifs forment l'ensemble des nombres relatifs. Exemples : 0 est un nombre à la fois positif et négatif -3,14

Cours de quatrième Quatrième 1. Opérations sur les nombres relatifs. 2. Ecritures fractionnaires. 3. Les puissances d'exposant entier relatif. 4. Géométrie: bases. 5. La droite des milieux. 6. La propriété de Thalès. 7. Des expressions numériques. 8. Comparaisons de nombres. 9. Les équations. 10. Des droites remarquables dans le triangle. 11. La propriété de Pythagore. 12. Cercles et triangles rectangles. 13. Le cosinus d'un angle aigu. 14. La proportionnalité. 15. Exploitation de données statistiques

caract´ris´e par leur e e e bijection avec les d´rangements. e Le mod`le que nous proposons, qui est diff´rent de celui de Garsia et e e Remmel, peut ˆtre en revanche d´fini a priori. e e Soit σ = σ(1)σ(2) . . . σ(n) une permutation. On appelle creux de σ un entier i, 1 ≤ i ≤ n tel que σ(i − 1) > σ(i) < σ(i + 1). 2 ´ ´ INTERPRETATION DU NOMBRE DE DERANGEMENTS (Par convention, on convient que σ(0) = σ(n + 1) = +∞ .) On note alors Kn l’ensemble des permutations de [n] dont le plus petit creux (que nous

plan d’´pargne le 28 mars et le 28 avril. ` e 2. On d´signe par en le montant th´orique du versement du compte courant au plan d’´pargne le 28 du ne mois e e e qui suit le mois de d´cembre 1997. e 1 On a donc en+1 = (en + 2000). 2 Pour tout nombre entier naturel n non nul, on d´finit la suite (vn ) par vn = 2000 - en . e (a) D´montrer que la suite (vn ) est g´om´trique de raison 0,5 et de premier terme v1 = 1000. e e e (b) En d´duire l’expression de vn en fonction de n. e (c) Calculer v1 + v2 + .

EXERCICE 4 1. Soit n un entier naturel non nul. un+1 ≤ 0, 95un ⇔ n10 (n + 1)10 2n+1 (n + 1)10 ≤ 0, 95 n ⇔ ≤ 0, 95 n ⇔ 2n+1 2 n10 2 n+1 n 10 On a montré que ≤ 0, 95 × 2 ⇔ 1 n 1 x 10 1+ 1 n 10 ≤ 1, 9. pour tout entier naturel n, un+1 ≤ 0, 95un si et seulement si −1 x2 1 x 9 1+ ≤ 1, 9. 9 2. a. f est dérivable sur [1, +∞[ et pour x ≥ 1, f ′ (x) = 10. sur [1, +∞[ et donc 1+ =− 10 x2 1+ . f ′ est strictement négative f est strictement décroissante sur

è 1. L’ pour la 2ème année pour la 3ème année 2. a) donc est géométrique de raison et de 1er terme et on a donc pour tout entier naturel n : b) On en déduit que la suite Donc pour tout n, c) alors d) est géométrique de raison donc elle converge vers 0 et est convergente. î est constante donc par différence, est constante égale à donc pour tout entier naturel n, La population de libellules va donc ’ nombre. Exercice VIII : 1. a) ’ è è 6 000 individus sans dépasser ce donc

• Théorème de Cantor-Bernstein : S’il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E, alors il existe une bijection de E dans F. 2 II Ensembles finis • Définition : Un ensemble E est fini s’il est vide ou s’il existe un entier naturel n et / une bijection de [[1, n]] dans E. Si E = ∅, n est appelé cardinal de E, noté indifféremment Card (E) ou |E|. Par convention Card (∅) = 0. Propriétés des cardinaux – Soit E un ensemble fini. Si F est un ensemble tel qu’il existe une