Entier algébrique

Les suites num´riques e Suites de Cauchy ; Applications Jean-Luc EVENO 3 septembre 2005 Le crit`re de Cauchy a une tr`s grande importance en analyse, mais essentiellement dans les questions e e th´oriques. Comme nous en aurons besoin dans quelques d´monstrations, nous vous le pr´sentons donc. e e e 1 1.1 Premi`res d´finitions, premi`res propri´t´s e e e e e D´finition e Nε et si p Nε , Une suite (un )n∈N est dite de cauchy, si Pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre Nε ∈ N tel que

"inverse" en 0 : x →0 x>0 lim La fonction "inverse" n'admet donc pas de limite en 0. • Fonction admettant des limites à gauche et à droite finies et distinctes. C'est le cas de la fonction "partie entière" : ƒ(x) = E(x) = le plus grand entier n inférieur ou égal à x. (Exemples : E(π) = 3, E(1) = 1, E(−2,5) = −3) x →0 x>0 lim E(x) = 0 et lim E(x) = −1 x →0 x ƒ(c') (lorsque ƒ est strictement décroissante). Donc ƒ(c) ≠ ƒ(c'), c'est-à-dire λ ≠ λ ce qui est absurde. On raisonne de même

formule du binôme Exercices supplémentaires 11. Résoudre dans K[ X ] P = P P . On commencera par s’interresser au degré des éventuelles solutions . 12. Soit P = ( ak )k∈N un polynôme non nul. On nomme valuation de P et on note val ( P) le plus petit entier tel que ak = 0. (a) Que va-t-on choisir comme valuation du polynôme nul ? (b) Montrer que val ( P + Q) min(val ( P), val ( Q)). Donner un cas d’égalité. (c) Montrer que val ( PQ) = val ( P) + val ( Q) 13. Effectuer la division euclidienne de X n −

Exercices : Nombres complexes – Niveau :4Sc.exp – A.S :09/10 L.Bechri Prof :Lahmadi.Adel E xercice N :1 On donne z = 3 + i 3 et z ' = −1 + 2i Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : z1 = z − z ' ; z2 = z.z ; z3 = z '2 ; z4 = (1 + i )2 ; (1 − i ) 2 ; (1 + i ) 2010 ; (1 − i ) 2011 ; i 9 z z' Exercice N :2 Dans le plan complexe , construire les points images respectifs des nombres complexes : a = 2 − i ; b = −3 − i ; c = −2 − 6i Construire les images des nombres

l'inégalité (1), démontrer que pour tout réel x < 1, e x £ . 1- x 2) Un encadrement du nombre e n désigne un entier naturel non nul. æ 1ö a) Déduire de l'inégalité (1) que ç 1 + ÷ £ e . è nø æ 1ö b) Déduire de l'inégalité (2) que e £ ç 1 + ÷ è nø 3) Une suite qui converge vers e æ 1ö (un) est la suite définie pour tout entier n > 0 par un = ç1 + ÷ . è nø 3 a) Démontrer que pour tout entier n  1, 0  e – un  . n b) En déduire que la suite (un) converge vers e. Montrer qu’il en est de même de la suite

sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est d´croissante et la diff´rence e e e des deux converge vers 0. ­ Propri´t´ 1 : si deux suites Ôun Õ et Ôvn Õ sont adjacentes avec Ôun Õ croissante et Ôvn Õ d´croissante alors, e e e pour tout entier naturel n, vn un . ­ Propri´t´ 2 : toute suite croissante et major´e converge ; toute suite d´croissante et minor´e converge. e e e e e Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, mˆme incompl`te, ou d’initiative mˆme non fructueuse,

représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j) (Unité graphique : 4 cm) ≥ = II Soit (Vn) la suite définie pour par 1 ) a ) En remarquant que ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + ........................+ ln(n), montrer que, pour tout entier ≥ , on a − − = − (1) où f est la fonction étudiée dans la partie I. b ) Etudier le sens de variation de la suite (Vn) , puis le sens de variation de la suite (Un). 2 ) Montrer que, la suite (Un) converge vers un réel positif

variables sont le réel U et les entiers naturels k et N. Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de 0 à N − 1 Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3 Fin pour Sortie Afficher U Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ? Partie B On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 3u n − 2n + 3 . 1) Calculer u1 et u 2 . 2) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un  n. b) En déduire

de la tangente à Cf au point d’abscisse 0. EXERCICE 2 – 4 points On considère la suite numérique u définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : 1 un+1 = un + n − 1. 3 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = 4un − 6n + 15. 1. Montrer que v est une suite géométrique. 2. Calculer v0 puis vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 19 1 6n - 15 × n+ . 4 3 4 3. Déterminer la limite de la suite u. 4. Montrer que u peut s’écrire sous la forme u =

NOMBRES RELATIFS Cours 1/3 OBJECTIFS : Connaître les règles d’addition et de soustraction des nombres relatifs. Savoir additionner et soustraire des nombres relatifs. Connaître les règles de multiplication et de division de nombres relatifs : connaître la règle des signes et les priorités de calcul. Savoir calculer le produit ou le quotient de nombres relatifs. Savoir calculer des expressions contenant des nombres relatifs. ADDITIONS METHODE DE CALCUL 1 On retire les parenthèses et