Entier relatif

LIMITES I. Notion de limites : Dans tout le paragraphe f est une fonction définie sur un ensemble noté Df . 1. Limite en a de f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant est admis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) . x →a Exemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi : Soit f une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 . x →2

Terminale S Contrôle de mathématiques Mardi 22 novembre 2011 Exercice 1 Equation différentielle (6 points) Partie A : ROC On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y′ = ay où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g(x) = Keax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y = ay + b où a ∈ R∗ et b ∈ R. ′ b 1) Démontrer que la fonction f0 définie sur R par f0 (x) = − est une solution de (E). a 2) Soit

CONCOURS COMMUN 2007 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Vendredi 11 mai 2007 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à

--------- . cx + d x−i Le signe de p détermine le sens de variation et les coordonnées du centre de symétrie de l’hyperbole sont i et m . 3 - ; une fonction f qui vérifie f(− x) = − f(x) est dite impaire (c’est le cas des fonctions x SQQT x n avec n entier impair) 

e ee (R´fl´xivit´) pour tout x ∈ E, x ∼ x ; e e e (Sym´trie) pour tous x, y ∈ E, x ∼ y si et seulement si y ∼ x ; e (Transitivit´) pour tous x, y, z ∈ E, si x ∼ y et y ∼ z, alors x ∼ z. e On v´rifie facilement que l’´galit´ usuelle ou l’´galit´ des entiers modulo p sont des e e e e e relations d’´quivalence sur l’ensemble Z. e ´ Etant donn´s un ensemble E et une relation d’´quivalence ∼ sur E, la classe e e d’´quivalence de x ∈ E est la partie de E, not´e x, constitu´e des ´l´ments en e e e ee relation

Chapitre 1 : Fonctions numériques ) Introduction 1 ) Test Préparer le test p.9 2 ) Activité 2 p 10 1. Un rectangle variable garde une aire constante de 36 cm2 . Ses dimensions en cm sont désignées par x et y. y Comment s'exprime y en fonction de x ? x⋅y = 36 donc pour x  0 , on a y = 2. 36 x x 36 cm2 Écrire le demi-périmètre p  x  en fonction de x . 36 p  x  = x  y= x  x Pour x compris entre 1 et 10, donner, à l'aide d'un tableur la représentation graphique de la fonction p . y=

1ère ES 1: Correction du devoir libre de mathématiques nº3 Exercice 1: Voir courbe jointe (02_Fonctions_DM_03_correction_exo1.ggb) Exercice 2: Voir courbe jointe (02_Fonctions_DM_03_correction_exo2.ggb) Exercice 3: On trouve: C 1 correspond à la fonction y=−3 x 2 2 C 2 correspond à la fonction y= x 3 −1 2 C 3 correspond à la fonction y= x 5 C 4 correspond à la fonction 2 x 2 Exercice 4: 1) Sur l'intervalle [−4 ; 3] , f  x 0 2) Le minimum de f est −2 atteint en x=1 . 3) Le maximum est 0 atteint

l’ordre de multiplicit´” en multipliant F par X − xi . Ce n’est pas e e inaccessible, mais ce n’est pas fondamental non plus : on zappera. . . λi,1 λi,αi +··· + est la partie polaire associ´e au pˆle e o X − x1 (X − xi )αi e xi , et E est la partie enti`re de F . Dans l’´nonc´ pr´c´dent, e e e e ´ Definition 3 2.2 Pˆles simples o ´ Definition 4 Lorsque le pˆle p de F est de multiplicit´ 1 (on parle de pˆle simple), la partie polaire o e o λ e · λ s’appelle le r´sidu de F en p. associ´e

permet d’écrire finalement : a c a+c = = b d b+d 2.1.4 On obtient aussi un rapport égal si on utilise la différence a c a−c = = b d b−d 2.1.5. Multiplions les deux termes du rapport du rapport a par le nombre relatif x et les deux termes b c par le nombre relatif y. d a c = b d ax cy ax + cy = = bx dy bx + dy exemple : Soit la proposition 5 15 = 2 6 Multiplions respectivement les rapports par : X=4 Y = -5 5 15 (5 x 4) − (15 x5) 20 − 75 = = = 2 6 (2 x 4) − (6 x5) 8 − 30

définie sur  −∞; −  par 2  3 2 c 4 x + 10 x + 3 x − 3 f ( x) = . (Indication : f ( x ) = ax + b + .) 2 2 (...) ( 2 x + 3) 6. Primitives de fonctions trigonométriques. Primitives des fonctions de la forme sin n x cos m x où m et n sont des entiers naturels. Cas 1 : n et m sont pairs : linéariser. Cas 2 : n ou m est impair : on peut éviter de linéariser grâce à la relation cos2 x + sin 2 x = 1 . a. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur R par, f ( x ) = cos 4 x sin 4 x .