Entier relatif

FICHE METHODE STATISTIQUES       I‐ LES PROPORTIONS     1) Définition   Une proportion ou part (valeur relative) mesure l’importance d’une partie à un tout.   Les proportions expriment donc le plus souvent la répartition d’une grandeur en plusieurs caractères (cf : %  de répartition)   2) Calcul   Pour  passer  d’une  Valeur  Absolue  (VA),  un  nombre,  à  sa  valeur  relative,  dans  un  ensemble,  une  part,  on  divise la valeur de ce nombre par la valeur de l’ensemble de référence     On a : 

EXERCICE 4 (5 points ) (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Partie A Restitution organisée de connaissances Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. Partie B Étude d’une transformation particulière − → Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; →, − ), on désigne par A et

1S D´rivation-Exercices corrig´s e e Exercices corrig´s sur la d´rivation dans R e e Exercice 1 : d´terminer le nombre d´riv´ d’une fonction e e e Soit f la fonction d´finie sur R par f (x) = x2 + x. e 1. En utilisant la d´finition du nombre d´riv´, montrer que f est d´rivable en 1 et d´terminer f (1). e e e e e 2. V´rifier le r´sultat sur la calculatrice. e e Solution : 1. Pour tout r´el h non nul,n le taux d’accroissement de f entre 1 et 1 + h est : e τ (h) = f (1 + h)

Int´gration e 1 D´finition de l’int´grale e e D´finition 1 F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est d´rivable sur I et si e e ∀x ∈ I : F (x) = f (x) Th´or`me 1 Toute fonction d´rivable sur un intervalle I admet des primitives sur I. e e e Th´or`me 2 Si F et G sont deux primitives de f sur l’intervalle I, il existe une constante C telle que e e ∀x ∈ I : F (x) = G (x) + C D´finition 2 Soit f une fonction d´rivable sur [a; b] et soit F une primitive de f sur [a; b] . e

TS. Correction - Révision du premier semestre E X 1 : ( 7 points ) ♣ → → − − Le plan est rapporté au repère orthonormal O, u , v . Unité graphique : 3 cm À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ′ d’affixe z ′ par l’application f qui admet pour écriture complexe : z′ = (3 + 4i) z + 5 z 6 C 1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives z A = 1 + 2i, z B = 1 et zC = 3i. N Déterminer les affixes des points A′ , B′ , C′ images respectives de A, B, C par

Fonction exponentielle Définition La fonction exponentielle est définie pour tout nombre réel x par : exp : x ) ex, avec ln (e) = 1 et e = 2,718 281 …… On a donc exp(x) = ex ; ex = y x = ln y (y > 0) En effet, ex = y ln(ex ) = ln y et x×ln(e) = ln y soit x = ln y Fonctions réciproques ✓ La fonction "carré" admet sur les réels positifs une fonction réciproque appelée "racine carrée". 1- Dans le repère orthogonal ci-contre, sont présentées les courbes U, V et W représentatives

l'intervalle pour lequel l'application h ◦ g est bijective. (d) Montrer que (h ◦ g)−1 = g −1 ◦ h−1 2. (07 pts) 1. Soit f la fonction dénie si dessus. 1 (a) ∀α = 0; f (α) = f ( α ).(0,5 pt) (b) f est une application (domaine de dénition R tout entier) car tout élément de R admet exactement une et une seule image, qui n'est pas bijective car elle n'est pas injective d'après la première question. 1 1 (α) = f ( α ) malgré que α = α .(01 pt) 2. Soit g la restrection de f sur I = [1, +∞[. (a)

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e La d´rivation e D´riv´e des fonctions usuelles e e Ce cours porte exclusivement sur la notion de d´riv´e relative aux fonce e tions r´elles usuelles. e 1 L’id´e g´n´rale e e e Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autre nombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais

Page 1 DL d’une fonction en 0 : Développement Limité d’une fonction f au voisinage de 0 1ière méthode : la formule de Taylor Young : Soit f une fonction réelle n + 1 fois dérivable (dérivable à l’ordre n + 1 ) sur un intervalle I de » tel que 0 ∈ I On appelle DL d’ordre n ∈ » de la fonction f en 0 , la formule de Taylor Young (avec le reste de Young) : 2 3 n f ′ ( 0) f ( ) ( 0) 2 f ( ) ( 0) 3 f ( ) ( 0) n ∀x ∈ I f ( x ) = f ( 0 ) + x+ x + x + ....... + x + x n ε ( x ) avec lim

© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot T RIGONOMÉTRIE 1 Congruence Définition 1.1 Congruence Soient a, b et m trois réels. On dit que a et b sont congrus modulo m s’il existe k ∈ Z tel que a = b + km. On note alors a ≡ b[m]. Remarque. En pratique, on a souvent m = rπ avec r ∈ Q. Exemple 1.1 3π 2 ≡ π 2 [π]. Proposition 1.1 Propriétés de la congruence Réflexivité Soit a ∈ R. Alors a ≡ a[m]. Symétrie Soit (a, b, m) ∈ R3 . Alors a ≡ b[m] ⇐⇒ b ≡ a[m]. Transitivité