Entier

de nombres réels définie par o  n+1  n   et pour tout entier naturel n, 2 5 . Pour tout entier naturel n , on appelle Mn le point du cercle C de centre 6    O et de rayon 1 tel que l'angle u,OMn ait pour mesure n .   1.Placez les douze points Mo ,M1 ,M2 ,...,M11 . 2.On appelle zn l'affixe de Mn .   5n  i   e2 6  Montrer que pour tout entier naturel n , on a l'égalité zn  3.a.Pour tout entier naturel n, montrer que l'on a les propriétés suivantes: - les

compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 2 et x = 3. Partie B : étude d’une suite On considère la suite (un )n supérieur ou égal à 2). 2 de terme général un = f (n) − 2n (n entier naturel 1. Étudier le signe de un en fonction de n. 2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose S n = u2 + u3 + . . . + un . 3. 1 a. Montrer que S n = ln . n b. Déterminer la limite de la suite (S n )n 2. France 4 septembre 2001 Baccalauréat L Amérique du Nord

propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal : 1.a admet un développement décimal limité ; 2.il existe un entier relatif m et un entier naturel p tels que a = \frac{m}{10^p} ; 3.on peut écrire a sous la forme d'une fraction irréductible \frac{b}{5^m \times 2^p}, où b est un entier relatif, et m et p des entiers naturels ; 4.soit a possède deux développements décimaux distincts, soit a = 0. Remarques[modifier | modifier le code] La première assertion différencie

∈ . Par conséquent u ln ln 2 − ln 2 = −e ( ) + 1 = −e 2 1 2 : comme u(0) = 1, on a K = -1 et donc 1 1 + 1 = − + 1 = : Proposition 2 Vraie. 2 2 3. On considère la suite ( un ) définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 7 un . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 7 . » Soit P(n) la proposition « 0 ≤ un ≤ 7 ». • • P(0) est vraie puisque u0 = 2 est compris entre 0 et 7. Supposons P(n) vraie cad que 0 ≤ un ≤ 7 : alors 0 ≤ 7un ≤ 49 donc 0 ≤ 7un ≤ 49 puisque

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)

entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ? Correction On a 320 = q × b + 39 ⇔ q × b = 320 − 39 = 281 . Cherchons les diviseurs de 281 : 1 et 281. Ce sont les seules valeurs possibles de q et b. Exercice 2 : 1. Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6. 2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise 6. 3. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise n + 2. 4. Déterminer les entiers relatifs

S Enseignement Obligatoire France métropolitaine EXERCICE 1 1) a) Soit n un entier naturel. vn+1 = un+1 − 6 = 1 1 1 1 un + 4 − 6 = un − 2 = (un − 6) = vn . 3 3 3 3 1 . 3 La suite (vn ) est une suite géométrique de raison b) On sait alors que pour tout entier naturel n vn = v0 × Or v0 = u0 − 6 = −5 et donc pour tout entier naturel n on a un = vn + 6 = −5 1 3 n 1 3 n . + 6. 1 3 n Pour tout entier naturel n, un = −5 n + 6. c) Puisque −1 < 1 < 1, on sait que 3 n→

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE Exemple 1 On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 » (On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ ) Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pour n = 0 : 10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0 Pour n = 1 : 10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1 Pour n = 2 : 10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel

(preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est de la forme 4n − 1 ou 4n + 1 (n entier naturel). 2. Soit p un nombre premier > 2. On pose q = 22 × 3 × 5 . . . × p − 1 (le produit