Entier

L ES SUITES I Rappels 1 Vocabulaire Définition 1 1. Une suite (u n ) est strictement croissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 > u n . 2. Une suite (u n ) est strictement décroissante à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 < u n . 3. Une suite (u n ) est stationnaire à partir du rang p si, pour tout entier n ≥ p, on a u n+1 = u n . 4. Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite

suite est borné , si elle est a la fois majorée et minorée La suite Un est croissante ( resp strictement croissante )lorsque pour tout entier n , on a : Un < Un+1 ( resp Un < Un+1) La suite Un est décroissante ( resp strictement décroissante ) lorsque pour tout entier n, on a Un > Un+1 (resp Un > Un+1 ) SUITES ARITHMETIQUES Reel r tel que , pour tout entier n , on ait Un+1 = un+r R = raison de la suite. Sn = u0+u1+ ….+un-1 est : Sn = n ( U0 + Un-1) 2 SUITES GEOMETRIQUES Reel

récurrence - On identifie clairement la propriété relative à un entier naturel que l’on se propose de démontrer. Cette propriété est : généralement donnée par l’énoncé soit conjecturée en observant les premières valeurs de Ensuite, il faut bien respecter les 2 étapes de raisonnement par récurrence : - L’initialisation ( vérifier que est vraie pour le premier indice ) - La transmission. On suppose que est vraie pour tout entier naturel quelconque , , montrons que est vraie ( DANS cette

ayant suivi l’enseignement de spécialité On considère la suite (un ) d’entiers naturels définie par u0 un+1 = = 14 5un − 6 pour tout entier naturel n 5 points 1. Calculer u1 , u2 , u3 et u4 . Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+2 ≡ un (modulo 4). En déduire que pour tout entier naturel k, u2k ≡ 2 (modulo 4) et u2k+1 ≡ 0 (modulo 4). 3. 4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de un

suppose connus les résultats suivants: • • J:(f(t)+g(t))dt= J:f(t)dt+ J:g(t)dt. Si pour tout tE[a,b), f(t) ?: O alors J:f(t)dt ?: O. alors Montrerque:sipourtout tE[a,b], f(t) ~ g(t) J:f(t)dt ~ J:g(t)dt. Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle /" la fonction définie sur [0, + oo[ par /" (x) == ln (1 + x") et on pose In On note = J~1n(l+xn)dx. en la courbe représentative de J" dans un repère orthonormal (0; i,]) 1. Q. Déterminer la

F(a) quand a tend vers +∞? Partie B On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un =Zn+1 n f (x)dx. On ne cherchera pas à expliciter un. 1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1 f (n +1)6un 6 f (n). b. Quel est le sens de variation de la suite (un)n>2 ? c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ? 2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n, F(n) = n−1 Xk=0 uk . b. Dans cette question, toute

Terminale S Corrigé du D.M. de Mathématiques n° 7 Exercice 79 p 207 Juliette débute un jeu dans lequel elle joue un certain nombre de parties. On note, pour n entier naturel non nul : G n l’événement « Juliette gagne la n-ième partie » Pn l’événement « Juliette perd la n-ième partie » Partie A 1. Juliette a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie donc p ( G1 ) = 0,5 . Si Juliette gagne une partie, la probabilité qu’elle gagne la partie suivante est 0,6 donc p G1 ( G 2

compris entre 1 et 100. En effet, il faut un nombre pair de changements d’état donc un nombre pair de diviseurs positifs autres que 1, c’est-àdire un nombre impair de diviseurs. Toute décomposition d’un entier en produit m ¥ n procure deux diviseurs distincts sauf dans le cas où m = n. Les seuls entiers strictement positifs ayant un nombre impair de diviseurs sont donc les carrés parfaits. 2 Le roi de la divisibilité ! Voir programmes sur le site Math’x. Le nombre maximal de diviseurs est 12, atteint

Rappels sur les entiers naturels Les nombres décimaux Comparaison des nombres décimaux Segments, longueurs et milieux Le cercle Report de longueurs et périmètres Constructions 3. THEME DE CONVERGENCE 4. ADDITION, I. 1. 2. 3. 4. 5. II. 1. 2. III. 7. LES SOUSTRACTION ET MULTIPLICATION DES DECIMAUX 13 DEMI-DROITES, POSITION 13 13 13 13 14 14 15 15 15 16 RELATIVE DE EUCLIDIENNE ANGLES 2 DROITES 17 17 17 18 18 18 19 20 21 23 Multiples et diviseurs d’un nombre entier naturel Reconnaître

= ∫ 1 1 de J = ∫ 1 2 dx ; en déduire en utilisant l’intégration par partie le calcul ln( x) dx x ( x 2 + 1) 4°) Soit I n = ∫ 1 0 x n e − x dx a) Calculer I0 b) Pour tout entier naturel n, en utilisant une intégration par parties, c) Calculer In+1 en fonction de In. En déduire I4. EXERCICE 08: Pour tout entier naturel n >0 ; on pose : I n = ∫ 01 x n 3 + x dx et I 0 = ∫ 01 3 + x dx 1°) a) Calculer I 0 b) Calculer I 1 à l’aide d’une intégration par parties 2°) Comparer x n +1 et x n lorsque