Entier

Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite définie pour tout entier naturel n par est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel n par et . b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et On pose pour tout entier naturel n : On pose encore : et . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : . En effet :

Narration de recherche nº2 | | Alvaro Lucas 16/10/2011 | 2nde3 Narration de recherche Pour commencer, j’ai testé l’algorithme pour des nombres entiers simples. J’ai compté le nombre de transformations jusqu’à 1. Nombre | Condition 1 satisfaite ? | N devient : | Condition 2 satisfaite ? | Fin ? | 1 | Non | 3n+1=5 | Non | Non | 5 | Non | 3n+1=16 | Non | Non | 16 | Oui | n/2=8 | Non | Non | 8 | Oui | n/2=4 | Non | Non | 4 | Oui | n/2=2 | Non | Non | 2 | Oui | n/2=1

indication erronée d’une ou d’un lieu. La rectification à faire doit être presque évidente. Elle ressort de la comparaison avec des actes de l’état civil antérieur, c’est pourquoi la compétence est donnée au Président du TGI et non par un tribunal dans son entier. Le principe est simple mais la mise en œuvre est délicate. Il faut distinguer l’état de la personne et la constatation de cet état. Les actes de l’état civil se bornent à une constatation de l’état de la personne. En effet, il ne modifie ni ne

>0   n  d.    ln n n>1 2. On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : un ≤ vn ≤ wn , lim ( un ) = −1 et lim ( wn ) = 1 . n→+∞ n→+∞ Alors : a. lim ( vn ) = 0 . n→+∞ b. La suite (un) est minorée. c. Pour tout n de ℕ , on a : −1 ≤ vn ≤ 1 . d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.  u0 = 1, 5 pour tout entier naturel n. 3. Une suite (un) est définie sur ℕ par   un+1 = 2un − 1 a. La suite (un) converge vers

bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter 6 000 ouvrages neufs. On appelle un le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013+ n). On donne u0 = 42. 1. Justifier que, pour tout entier naturel n , on a un+1 = un × 0, 95 + 6. 2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. Variables : U, N Initialisation : Mettre 42 dans U Mettre 0 dans N Traitement : Tant que U

N désigne l’ensemble des entiers naturels. Le corps des nombres réels est noté R et celui des nombres complexes est noté C. Par ailleurs, K désignera soit R, soit C. Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn

Chapitre 1 Suites géométriques 1. Page d’ouverture • Énigme ✱ (Sn ) est la suite définie pour tout nombre entier n, par : 1 1 1 Sn = 1+ + 2 + …+ n . 2 2 2 En utilisant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique, pour tout nombre entier naturel n, 1 n+1 1– ⎛ 2 1 n+1⎞ = 2 ⎜1– Sn = 2 ⎟⎠ 1 ⎝ 1– 2 ⎛ 1n 1 n+1⎞ = 2 – S n = 2 ⎜1– 1+ . 0. 2 ⎟⎠ 2 ⎝ Donc la somme des aires des carrés ne dépassera pas 2 m². () () () () • Énigme ✱ ✱ 1 7 8 5 4    1. B et III.   2. A et II. 3. C et I

+) et (Q , ×) sont-ils isomorphes ? Exercice 18 Centrale MP [ 02363 ] [correction] Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal n ? Exercice 19 Centrale MP Montrer que [ 02366 ] [correction] √ x + y 3/x ∈ N, y ∈ Z, x2 − 3y 2 = 1 est un sous-groupe de (R+ , ×). Exercice 20 Centrale MP [ 02368 ] [correction] Soit n un entier naturel non nul, (e1 , . . . , en ) la base canonique de E = Rn . Soit Sn l’ensemble des permutations de {1,

Définitions : Pour deux nombres entiers n et d non nuls, d est un diviseur de n signifie qu’il existe un nombre entier q tel que n = q × d. On dit aussi que n est divisible par d ou que n est un multiple de d. Remarque : Si d est un diviseur de n alors le reste de la division euclidienne de n par d est égal à zéro. Exemples : 7 est un diviseur de 91 car 91 = 7 × 13. De même, 13 est un diviseur de 91. Remarque importante : 1 est un diviseur de tout nombre entier

l'inégalité (1), démontrer que pour tout réel x < 1, e x £ . 1- x 2) Un encadrement du nombre e n désigne un entier naturel non nul. æ 1ö a) Déduire de l'inégalité (1) que ç 1 + ÷ £ e . è nø æ 1ö b) Déduire de l'inégalité (2) que e £ ç 1 + ÷ è nø 3) Une suite qui converge vers e æ 1ö (un) est la suite définie pour tout entier n > 0 par un = ç1 + ÷ . è nø 3 a) Démontrer que pour tout entier n  1, 0  e – un  . n b) En déduire que la suite (un) converge vers e. Montrer qu’il en est de même de la suite