Entier

son degr´, son coefficient directeur, son terme constant e calculer la somme de tous les coefficients de P5 d´terminer ses racines r´elles e e d´terminer ses racines e 3 le cas g´n´ral d´coule alors de la question de cours e e e a quand p est un entier : 0 ≤ p ≤ n, d´terminer le coefficient de Xp dans Pn e b mˆme question avec 2n ≤ p ≤ 3n (utilisez une particularit´ de Pn ) e e c † mˆme question avec n + 1 ≤ p ≤ 2n − 1 e Conseils : Ecrivez la formule correspondante pour voir quel est le probl`me :

Série corrigée : Arithmétiques Exercice 1 : 1. Déterminer les restes de la division de 5p par 13 pour p entier naturel. 2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 184n−1 est divisible par 13. Correction 1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 : −1 ou 12, p = 3 : −5 ou 8, p = 4 : 1 donc pour p  4k le reste est 1, pour p  4k  1 le reste est 5, pour p  4k  2 le reste est 12 ou −1, pour p  4k  3 le reste est 8 ou −5. 2. N  314n1  184n1 : 31  2  13 

1/ Les ensembles de nombres. En mathématiques nous utilisons différents ensembles de nombres : N : les entiers naturels ou entiers positifs, ex : 6 ; 0 ; 15 Z : les entiers relatifs (positifs et négatifs), ex : 6 ; 0 ; - 4 D : les nombres décimaux, ex : 6 ; - 4 ; 8,666 Q : les rationnels, ex : - 4 ; 8,666 ; 8,666…. ; 4/3 R : les réels (tous les nombres qui existent), ex : 8,666 ; 8,666…. ; 4/3 ; 3/4 ; 7 Il y a deux représentations différentes. Les ensembles : [pic] La droite

Amérique du nord mai 2004. Commun à tous les candidats Partie I 8 points On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle : (En) y ' + y = xn –x e . n! 1° On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur IR , vérifient, pour tout x réel : g (x)= h(x) e–x . xn . a) Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel, h '(x) = n! b) En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que

∩ An) et P(An+1 ∩ An ) en fonction de P(An) . c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n ≥ 1 , on a : P(An+1) = 0,2 P(An) + 0,6. 2° On pose à présent, pour n ≥ 1 , pn = P(An) et Un = pn – 0,75. a) Démontrer que (Un) est une suite géométrique de raison 0,2. b) En déduire une expression de pn en fonction de n. c) Montrer que (pn) admet une limite que l'on calculera. n e 2 Exercice III On pose pour tout entier naturel n non nul : In = ⌠ ⌡1 x (ln x) dx e 2 où ln désigne la fonction logarithme

binaire suivant :1000 1101 alors ça peut représenter un nombre entier positif ou négatif, comme elle peut représenter un nombre réel ou un caractère, ou même une instruction de programme, ou un graphique ….. Donc il n'est pas possible d'attribuer une signification à une information binaire tant que l'on ne connaît pas la manière dont elle a été codée et son type. C manipule deux types de base: les entiers et les nombres flottants. Les entiers En C, on dispose de divers types d'entiers qui se distinguent

de la tangente à Cf au point d’abscisse 0. EXERCICE 2 – 4 points On considère la suite numérique u définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : 1 un+1 = un + n − 1. 3 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = 4un − 6n + 15. 1. Montrer que v est une suite géométrique. 2. Calculer v0 puis vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 19 1 6n - 15 × n+ . 4 3 4 3. Déterminer la limite de la suite u. 4. Montrer que u peut s’écrire sous la forme u =

On considère la suite de nombres complexes (Z n ) définie pour tout entier naturel n par Z 0 = 1 + i et Z n+1 = 1+i Z n . On note Mn le point du plan d’affixe 2 Zn . a. Pour tout entier naturel n, le point Mn appartient au cercle de centre O et de rayon 2. b. Pour tout entier naturel n, le triangle OMn Mn+1 est équilatéral. c. La suite (U n ) définie par U n = |Z n | est convergente. Z n+1 − Z n est π . d. Pour tout entier naturel n, un argument de 2 Zn 4. Soit A, B, C trois points du plan

définit la suite (un) par :  , pour tout entier naturel n. Démontrer que pour tout entier naturel n, . 2. On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer un en fonction de n. On considère les suites v = (vn) et w = (wn) telles que, pour tout entier naturel n, et (ln désigne le logarithme népérien). a. Vérifier que pour tout entier naturel n, . b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et

est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité, soit ”vrai“ soit ”faux“. Exemple 1.1.1. « 2 < 3 », « l’ensemble {3, a, 53} possède 7 éléments », « 49 est un nombre premier », « cos2 (1) + sin2 (1) = 1 », « π est un nombre entier » sont des propositions logiques. 1.1.1 Connecteurs logiques Les connecteurs logiques sont des opérations permettant de créer de nouvelles propositions à partir de propositions existantes. La négation Soit P une proposition. La négation de