Entier

p(N1 ) + p(N2 ∩ R2 ) = p(N1 ) + p(N2) × p N2 (R2 ) = 0, 2 + 0, 8 × 0, 1 = 0, 28 Amérique du Nord 2 3 juin 2010 Baccalauréat S 2. Ici on veut p R (N2 ) c’est p R (N2 ) = p(N2 ∩R) p(R) = p(N2 ∩R 2 ) p(R) = 0,8×0,1 028 = 2 7 3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l’urne). On répète donc n fois l’expérience à deux issues : « tirer une rouge numérotée 1 » de probabilité p = 0

720 . 1 512 donc 720 72×10 10 = = 1512 72×21 21 720=72×10 10 et 21 n'ont pas de diviseurs communs puisque 21 est divisible par 3 et 7 et que ces deux entiers ne divisent pas 10. 3) Paul a une cour rectangulaire de 7,20 m de largeur et de 15,12 m de long qu'il désire carreler avec des dalles carrées dont le côté est un nombre entier de centimètres. Il veut le moins de carreaux possibles pour recouvrir le sol. Je cherchele nombre de dalles carrées nécessaires. J'écris toute ma démarche. Remarque:

tout entier naturel n, an = u n + v n 1 1 n 2 + 4n − 5 + 2n − 4n + 5 = 4 4 1 n = ×2 2 On remarque que an est de la forme a × q n avec a = trique de raison 2. 1 et q = 2, donc la suite (an ) est géomé2 3. S a (n) = a0 × 1 − 2n+1 1−2 1 × 2n+1 − 1 2 1 = 2n − 2 = 4. Pour tout entier naturel n, bn = un − v n 1 n 1 = 2 + 4n − 5 − 2n − 4n + 5 4 4 = 2n − 2, 5 On remarque que b n est de la forme an + b avec a = 2 et b = 2, 5, donc la suite (b n ) est arithmétique de raison 2. 5. Pour tout entier naturel

suite réelle. Montrer que si la suite (un )n∈N converge au sens de C ÉSARO et est monotone, alors la suite (un )n∈N converge. Correction [005221] Exercice 3 **IT Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑nk=1 1k (série harmonique). 1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n) et en déduire limn→+∞ Hn . 2. Pour n entier naturel non nul, on pose un = Hn − ln(n) et vn = Hn − ln(n + 1). Montrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers un réel γ ∈ 12 , 1 (γ est appelée la constante d’E

rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z. Le corps Q étant totalement ordonné, on

Legendre définie par : (n) ∀n ∈ N, Ln = Un . Lemme 23.3 Pour tout entier naturel n, Ln est une fonction polynomiale à coefficients entiers relatifs de degré n. Lemme 23.4 Si (Ik )k∈N est la suite de réels définie par : 1 ∀k ∈ N, Ik = sin (πt) tk dt, 0 alors :   I0 = 2 , I1 = 1 ,  π π 1 k (k − 1)   Ik = − Ik−2 (k ≥ 2) π π2 et pour tout entier naturel non nul k, il existe un polynôme Qk à coefficients entiers relatif de k 1 1 degré tel que Ik = Qk . 2 π π2 On définit

Fiche 9 : Dénombrement Plan de la fiche I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement I - Les listes p-liste E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1). Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts). Exemple On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face). Un résultat

irrationnels. √ √ 1) (**) 2 et plus généralement n m où n est un entier supérieur ou égal à 2 et m est un entier naturel supérieur ou égal à 2, qui n’est pas une puissance n-ième parfaite. 2) (**) log 2. 3) (****) π (Lambert a montré en 1761 que π est irrationnel, Legendre a démontré en 1794 que π2 est irrationnel, Lindemann a démontré en 1882 que π est transcendant). p Pour cela, supposer par l’absurde que π = avec p et q entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Considérer q p/q n x (p −

bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? ». Nous allons voir comment on peut aider Marc à répondre à cette question. 1) Pour tout entier naturel n non nul, on note un le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, u0 = 100. a) Calculer u1. b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 1,05 un + 20. 2) Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn = un + 400. a) Calculer v0. b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique et préciser sa raison. c)

dans ] − 1, 1[. Correction [005752] Exercice 9 *** I n n +∞ +∞ (−1) x 1 Calculer ∑+∞ n=0 4n2 −1 pour x dans ] − 1, 1[ et en déduire les sommes ∑n=0 4n2 −1 et ∑n=0 4n2 −1 . Correction [005753] Exercice 10 **** Pour n entier naturel, on pose un = général un . (−1)n 2n+1 1 . Convergence et somme de la série (numérique) de terme ∑nk=0 4k+1 Correction [005754] Exercice 11 *** Soit A une matrice carrée complexe de format p ∈ N∗ . Rayon de convergence et