Entier

nombres. 2 ◗ Lire les deux entiers a et b ◗ Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b ◗ TANT QUE r est différent de 0 – Remplacer a par b – Remplacer b par r – Remplacer r par le reste de la division euclidienne de a par b ◗ Afficher la valeur de b ◗ Lire le nombre n ◗ Écrire tous les entiers entre 2 et n ◗ Pour chacun de ces entiers, en commençant par 2 : – Si il n’est pas rayé Alors rayer tous ses multiples sauf lui-même ◗ Écrire la liste des entiers non rayés ◗ Lire le nombre

Correction Ex 2, 4, 6, 10 TD STRUCTURES MULTIPLICATIVES Exercice n°2 : 1) La liste des nombres considérée est 38 ; 38 + 17 ; 38 + 27 ; ……; 38 + k7 (avec k entier naturel) ; … Or 38 + 7k  365, d'où 7k  327, et donc k  46,7…… La plus grande valeur pour k est donc 46, et le plus grand nombre de la liste est donc 38 + (746) = 360. De 38 + (70) à 38 + (746), il y a 47 nombres (k prend les valeurs 0 , 1 , 2 , ……, , 46). 2) 38 + (746) = 360, 38 + (747) = 367 donc tant que l'on choisit

de factorisation Transformation de formules Méthodologie Exemple Equations paramétriques du 2ème degré Erreurs classiques Nombres et ensembles ℝ= Nombres réels = Tous les nombres ℚ= Nombres rationnels = Nombres à virgules ℤ= Entiers relatifs = Nombres négatifs ℕ= Entiers naturels = Nombres positifs Opérations et tableau des signes a+b = b+a Additions et multiplications sont commutables a∙b = b∙a a − b =/ b − a Soustractions et divisions ne sont pas commutables a ÷ b =/ b ÷ a a(b + c) = a ∙

par récurrence - Corrigé 1) On considère la suite définie par Montrer que pour tout entier naturel , . Montrons par récurrence la propriété : Pour tout entier naturel , Initialisation : . La propriété est vraie pour Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel tel que Conclusion : On a montré que la propriété est vraie au rang et que si vraie alors est aussi vraie. Donc pour tout entier naturel 2) On considère la suite définie pour . est par : Montrer que pour

défectueux. 1°) Quelle loi suit X ? Répondre avec précision. 2°) À l’aide de la calculatrice, déterminer les entiers a et b ainsi définis : II. (4 points) Donner le domaine de résolution de l’équation (1) et des inéquations (2), (3), (4) puis les résoudre. 1°) ln  2 x  1  ln  2 x  1  ln  x  2  (1)  a est le plus petit entier naturel tel que P (X  a) > 0,025 ;  b est le plus petit entier naturel tel que P (X  b)  0,975. 3°) En déduire l’intervalle de fluctuation I à 95 % de la fréquence

un couple (u, v) de nombres entiers ree latifs tel que : 123u + 2003v = 1 (b) en d´duire un entier relatif k tel que 123k ≡ 1[2003] e (c) D´montrer que : (∀x ∈ Z) 123x ≡ 456 [2003] ⇔ x ≡ e 456k [2003] (d) D´terminer l’ensemble des entiers x tel que : 123x ≡ e 456[2003] (e) Montrer qu’il existe un unique entier naturel n tel que 123n ≡ 456 [2003] et 1 ≤ n ≤ 2002. 2. Soit a un entier naturel tel que 1 ≤ a ≤ 2002 (a) D´terminer a ∧ 2003 e (b) montrer qu’il existe un entier p tel que ap ≡ 1[2003] Exercice

1. Suites Corrigés des exercices-tests  Vrai ou faux a) Vrai : pour tout entier naturel n, u n+1 – u n = 7. b) Faux : u 1 – u 0 = 2 – 1 = 1 et u 2 – u 1 = 5 – 2 = 3. n+1 u c) Faux : pour n ≠ 0, n +1 = , rapport non n un constant. d) Vrai : si r est la raison, u n + u n+2 = u n+1 – r + u n+1 + r = 2 u n+1 .  Vrai ou faux a) Vrai : pour tout entier naturel n, u n+1 – u n = 2. b) Vrai : pour tout entier naturel n, 1 1 1 u n+1 – u n = – = > 0. n n + 1 n(n + 1) c) Faux : La

Ã(n) : un = wn · La propriété Ã est initialisée (au rang 0) d'après la question 1.b) · Soit n un certain entier et supposons Ã(n). On a alors : un+1 = 1 Ã( n ) 1 1 n +1 n +1 = = = = = wn+1 n 2 - un 2 - wn 2 2(n + 1) - n n + 2 n +1 1 2 2 3 3 4 D'où Ã(n + 1). La propriété Ã est donc héréditaire. Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que la propriété Ã est vraie pour tout entier n. C'est-à-dire, pour tout n Î  : 2. a) On a : v1 + v2 + v3 = ln un = wn 1 1 2 3 1 2 3 + ln + ln = ln

nlim → +∞ Exercice 1 : ( sur 2) Soit u n=3+ Exercice 2 : ( sur 3) Déterminer la limite des suites suivantes : 2 n n −2 n +3 n+1 2 −3 w = ; u n=3 n3 – 4 n+2 ; v n = n 2 n 3 n +5 n 3 −1 Exercice 3 : (sur 2) Les suites u et v sont définies pour tout entier naturel n  2, par : n n u n= et v n = √n √ n+1 1°) Déterminer la limite de u n . 2°) Montrer que pour n  2, u n⩽v n 3°) En déduire la limite de v n . Exercice 4 : ( sur 3) 1°) On considère une suite u définie sur ℕ et telle que pour tout n ∈ ℕ,

spécialité 5 points Soit la suite numérique (un ) définie sur N par : 2 1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + n + 1. 3 3 1. a. Calculer u1 , u2 , u3 et u4 . On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2 près. b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite. 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, un n + 3. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1 − un = 1 (n + 3 − un ) . 3 c. En déduire une validation de la conjecture