Entier

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible

- 2 heures Exercice 1 (7 points) Soit (Un )n~1 et par: u] (vn VI t~1 suites réelles définies deux = 1 et pour tout n E Exercice 2 On considère la suite numérique u définie par ua = 1 et pour tout entier naturel n : 1 u,,+]=3u" +n-1 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par: = 12 et N* : U,,+[= 1.) Pour tout un+2v" 3 N*, on pose: w" = v" -U". nE a.) Montrer que (w,,) est une suite géométrique dont on précisera le premier tenne et la raison

sans utiliser le théorème de Gauss, que pour tout entier naturel n, si 5 divise 4n alors 5 divise n. EXO 02. L’objectif est de déterminer, pour tout entier naturel n, le pgcd de 4n+1 − 1 et de 4n − 1 (toujours lire la dernière question !) Vu au BAC... (a) Déterminer le pgcd de 45 − 1 et de 46 − 1 . (b) Considérons la suite [d’entiers naturels – A ENLEVER] u définie par un +1 = 4un + 1 et u0 = 0 . Déterminer le pgcd de un et un +1 pour tout entier naturel n. 1 3 (c) Considérons la suite v

réels particuliers l’ensemble des nombres entiers positifs : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … Les nombres entiers positifs sont appelés entiers naturels. ● ℕ est l’ensemble des nombres entiers positifs ou négatifs :… -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … Les nombres entiers positifs ou négatifs sont appelés entiers relatifs. ● ℤ est ● ℚ est l’ensemble des quotients d’entiers : c'est-à-dire des nombres Exemples : 5 4 ; −3 2 ; 25 10 2 ? ? , avec a entier et b entier non nul. ; . 3 Les quotients d’entiers sont

EXERCICE N°3 :(4 points) On considère la suite définie par et pour tout entier naturel , . 1/ Calculer et . est- elle arithmétique ? est-elle géométrique ? Suite au verso ⇒ LYCEE DE SOUSSE PROF : Mer Zaghouani Riadh Devoir de contrôle ANNEE SCOLAIRE : 010/011 DISCIPLINE :MATHEMATIQUES n°6 DUREE : 1 HEURE NIVEAU : 2ème année sciences Date : 28/04/2011 2/ On pose pour tout entier naturel , a) Déterminer pour que la suite premier terme. b) Donner l’expression

b. Démontrer que a h(x) dx = A. P. M. E. P. Baccalauréat S E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 5 points Partie A Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a = 1). On pose, pour tout entier naturel n, v n = un − b . 1−a 1. Démontrer que, la suite (v n ) est géométrique de raison a. 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un ) a pour b limite

quelconque, on écrit pour tout entier n supérieur à 1 : Par convention, pour a non nul, a0 = 1. En clair, le produit de n facteurs égaux à a est noté an, et on lit « a puissance n ». an est appelé une puissance du nombre a. Le nombre n est appelé exposant. Exemple :  ;  ; A ne pas confondre avec :  ; . Remarques importantes : Dès que a est non nul, l’inverse de an existe et vaut . On le notera a-n. On peut donc considérer que l’écriture an est valable pour tout entier relatif n, dès que a est

∈ I, h(x) ∈ I et h(x) f (x) g(x) donc α f(x) ∈ I. f) On vient de démontrer le théorème « des gendarmes » pour les fonctions. b) Avec u0 = 1, il semble que lim un = – ∞. n→+∞ Avec u0 = 6, il semble que lim un = + ∞. n→+∞ 2. a) Pour tout entier n, vn+1 = un+1 – 3 = 2un – 3 – 3 = 2vn. Donc la suite v est géométrique de raison q = 2. b) v0 = u0 – 3 vn = v0qn = (u0 – 3) × 2n. c) lim 2n = + ∞ car 2 > 1. n→+∞ 3.3 Limites et composées 1. a) Pour tout réel x > – 1. g[f(x)] = g 4x + 5 = 4x

Théorème de Bezout : « Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1 » b) Il suffit de trouver une combinaison linéaire de a et b judicieuse pour éliminer n : (−7)a + (9)b = −63n − 35 + 63n + 36 = 1 Il existe donc un couple (−7; 9) tel que −7a + 9b = 1 d’après le théorème de Bezout, les nombres a et b sont premiers entre eux, pour tous n 2) a) Théorème de Gauss : « Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si

à n º n0 ( 12 ´ 19 ) . í ï n º n0 ( 12 ) î 3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante. b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.). 4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise n par 228 = 12 ´ 19. Quel est le reste r de cette division ? Exercice n°3 : © uur uur · p ABC est un triangle rectangle en