Entier

poursuit et, pour tout entier n positif ou nul, on note :   Rn le montant, exprimé en francs, du revenu annuel de Monsieur Dufisc en l'an (1990 + n),   In le montant, exprimé en francs, de l'impôt correspondant,   Un = Rn - In, le revenu après impôt.  (R0 = 90 000, I0 = 8 000, U0 = 82 000)  1. a) Calculer R1, I1, U1, R2, I2, U2.      b) Montrer que, pour tout entier positif n, on a :      Rn = 90 000 × (1,02)n      In = 8 000 × (1,03)n  2. a) Montrer que, pour tout entier positif n, Un+1 -

est indépendant du nombre réel t. Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0, 2. Exercice no 12 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Asie 21 juin 2011) 1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposition). http://prof.pantaloni.free.fr V ERSION

ST 3. Montrer que pour tout entier naturel n, 0≤un≤un+1≤1. Montrons cette relation par récurrence Pour tout entier naturel n, posons P(n) : « 0≤un≤un+1≤ » INITIALISATION : pour n=0, on a " ST ST = × V W V W × V W = VW W W V VT W W = V W X W = × = Y # ≤ JK=L [(0) ,! >- / \) " = = = ! " = = \ # < J 2 Kù DK - = = 0 K= / = 0 ≤ \ \ " ≤ HEREDITE : soit k un entier naturel, Si P(k) est vrai alors 0

initial de la suite ( ) Si deux suites ont la même relation de récurrence et le même premier terme alors ces deux suites sont égales. Une suite ( ) est croissante lorsque pour tout entier n : < Une suite ( ) est décroissante lorsque pour tout entier n : > Une suite ( ) est constante lorsque pour tout entier n : = Toutes les suites ne sont pas croissantes ou décroissantes. Exemple : La suite ( ) définie par Un = Pour étudier la monotonie d’une suite, il y a 3 méthodes différentes

préalable au travail pratique 1 – AUT2015 - 20 1. Informations Remplissez le tableau suivant (utilisez autant de lignes que nécessaire). Identifiez les données nécessaires au fonctionnement du programme. Donnée : le nom que vous lui donnez. Type : Entier, Réel, Caractère, etc. Valeurs Valides : Valeur de la constante ou valeurs permises pour que le contenu d’une variable (calculée ou saisie) soit valide. Source : constante, saisie ou calculée. Utilisez/ajoutez autant de lignes que nécessaire. Donnée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 13 13 14 15 17 17 19 . . . . . . . . . . . . . . 21 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diviseurs communs à deux entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition et premières propriétés du PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

soit uniquement r´cr´atifs. e e e e e 1 La 4 De mani`re plus prosa¨ e ıque, notons que la propri´t´ de l’exercice 1.2 est une ´vidence pour ee e les ensembles finis car, dans ce cas, Card P(X) = 2Card X et on voit facilement que, pour n ≥ 0 entier, on a n < 2n ; on peut par exemple d´montrer e n par r´currence sur n que n + 1 ≤ 2 . e Exercice 1.3. Soit X un ensemble. On appelle partition de X toute famille (Ai )i∈I de parties non vides de X, deux a deux disjointes, de r´union X. Etant donn´e

les expressions « nombre algébrique », entier algébrique, polynôme normalisé, polynôme canonoque et nombre transcendant ainsi : un nombre complexe est dit algébrique s'il existe un polynôme P(x) non constant à coefficients entiers (c'est à dire dont les coefficients appartiennent à et tel que si de plus le polynôme P(x) peut être choisi « normalisé », c'est à dire tel que le coefficient de son terme de plus haut degré soit 1, on dit que est un entier algébrique un nombre qui n'est pas

tout entier naturel n, par : [pic] et [pic]. 1. Calculer [pic]. 2. Soit la suite [pic] définie pour tout entier naturel n par [pic]. a. Montrer que la suite [pic] est une suite géométrique de raison [pic]. b. Exprimer [pic] en fonction de n et préciser la limite de la suite [pic]. 3. Après avoir étudié le sens de variation des suites [pic] et [pic], démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ? 4. On considère à présent la suite [pic] définie, pour tout entier naturel

1+i zn . On note A n le point du On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 = 2 plan d’affixe zn . 1. Calculer z1 , z2 , z3 , z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0 , A1 , A2 , A3 et A4 sur une figure. Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S 2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. Justifier que la suite (un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, un = 2 1 n . 2 3. À partir de quel rang