Entier

LIBAN BACCALAUREAT S 2003 Exercice 1 : Commun à tous les candidats Retour vers l'accueil Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l'urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une

cercle. 3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x + 2y = 1 et vérifiant z 25. b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Déterminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant : −3x + 2y = 1 et z E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 25. a. Donner un couple d’entiers relatifs

veut dès que n est assez grand » , alors on dit que | | |la suite ( u n ) a pour limite + . |Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si | | |n p , alors u n > M | |On note +)) u n = +

les trois premiers termes de cette suite. 2° Démontrer que, pour tout entier naturel n, – 1 Un 0. 3° On admet que Un est toujours différent de – et on alors pour tout entier naturel n, Vn = a) Montrer que la suite (Vn) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme. b) Exprimer Vn en fonction de n. 4° Exprimer Un en fonction de Vn, puis en fonction de n 5 points Démontrer que pour tout entier naturel n *, 12 + 22 + 32 + … + n2 = 3 points Soit f la fonction

SUJET 1 SUJET NATIONAL, JUIN 2011 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn (x) = xn e−x . On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i, j) du plan. Partie A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe Ck où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d’abscisse 1 et la courbe C3 . 4 La droite Tk coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées ;0 . 5 1. a) Déterminer

= 1 vérifie bien 0 < u0 ≤ 2 - supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise le fait que la racine carrée est strictement croissante : 0 < √ 2un ≤ 2 on en déduit 0 < un+1 ≤ 2, ce qui prouve que la propriété est héréditaire - on peut alors conclure que pour tout entier n , 0 < un ≤ 2 b) On démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 - pour n = 0 , on a u0 = 1, u1 = √ 2 ≈ 1, 414 et on

Indication Correction Vidéo [000251] Exercice 2 Montrer que ∀n ∈ N : n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24, n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120. Correction Vidéo [000257] Exercice 3 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais égal à 3. Correction Vidéo [000267] Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n

seuls les nombres entiers naturels ( ℕ ) existent, quelles sont les équations cidessous qui ont des solutions : ( Barrer les équations que l'on ne peut pas résoudre ) 3–x=7 9x – 5 = 13 x² = -1 2x + 3 = 5 3x² = 9 6x + 7 = 6x + 5 4x = 5 2x² = 8 −4 x7=  2 3x = -1 x÷4=5 3x = 0 2. Entourer la bonne réponse : L'ensemble ℕ permet-il de résoudre toutes les équations ? Oui Non Si on additionne deux entiers naturels, obtient-on un entier naturel ? Oui Non Si on soustrait deux entiers naturels, obtient-on

è 1. L’ pour la 2ème année pour la 3ème année 2. a) donc est géométrique de raison et de 1er terme et on a donc pour tout entier naturel n : b) On en déduit que la suite Donc pour tout n, c) alors d) est géométrique de raison donc elle converge vers 0 et est convergente. î est constante donc par différence, est constante égale à donc pour tout entier naturel n, La population de libellules va donc ’ nombre. Exercice VIII : 1. a) ’ è è 6 000 individus sans dépasser ce donc

orthonormé (O,i, j) . La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la restriction de f à l’intervalle [ 0, π ] . 3 1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, n 3 − n est divisible par 6. 2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 4 n − 1 est divisible par 3. 3) Déterminer les entiers naturels a et b tels que 35(a + 10) = 27( b + 13) 2 4) Déterminer l’ensemble de tous les couples (a,b) d’entiers naturels solutions 1 j -π O π 3 