Entier

ex + y . 1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B ( ) n = enx . e− nx 1 + e− x On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer u1. En déduire u0. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, un ≥ 0 . 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ≤ 4. Déterminer la limite de la suite (un). 2. Exercice

; alors vn tend vers + 3 quand n tend vers + 3. • Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Démontrer que la suite ^q nh , avec q 2 1, a On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : pour limite + 3 . ^1 + ahn H 1 + na . • Déterminer la limite éventuelle d’une suite On peut étudier des situations où intervient géométrique. la limite de la somme des premiers termes d’une suite géométrique. • Utiliser le théorème

F . iii) Une relation binaire R sur E est dite compatible avec la loi T si : ∀x, y, x , y ∈ E, on a (xRy et x Ry ) ⇒ (xT x )R(yT y ). Exemples 3.1 1) L'opération d'addition, notée +, est une loi de composition interne sur Z. L'ensemble des entiers naturels N est une partie de Z, stable pour l'addition. 2) Soit E un ensemble non vide et soit F(E) = {f | f : E → E application}. La composition des applications, notée o, est une loi de composition interne sur F(E). Si on note par S(E) = {f ∈ F

nombre n’est pas égal à 2. Donc c n’est égal à aucun de ces nombres. c. Le nombre négatif dont le carré est 2 est – 12. 1 2 1 3 a. (12)2 = 2 ; (610,5)2 = 10,5 ; = . 3 3 b. • 481 = 9 : nombre entier. • 61,21 = 1,1 : décimal non entier. • 10 = 0 : entier. • 11 = 1 : entier. • 82 500 = 50 : entier. 1 1 = : non décimal. • 36 6 11 2 11 c. 482 = 8 ; 61,52 = 1,5 ; = . 7 7 d. 2 < 15 < 3 ; 4 < 419 < 5 ; 4 < 621,3 < 5. ΂3 ΃ 4 e. z = 0. 8΂ ΃ b. (1a1b )2 = 1a1b × 1a1b = (1a)2(1b)2

Chapitre 1 Divisibilité dans  1.  Page d’ouverture • Problème 2 Soit n le nombre choisi par Coraline. n s’écrit ab en écriture décimale, où a et b sont des nombres entiers naturels compris entre 0 et 9. Si a  b : ( a + b ) + ab + a - b = 35, donc a(2 + b ) = 35. a et 2 + b sont diviseurs de 35. Les diviseurs positifs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. • a = 1 et b = 33 : impossible. • a = 5 et b = 5 : convient. • a = 7 et b = 3 : convient. • a = 35 et b = -1 : impossible. Si a 

euclidienne de a − 1 par b. Déterminer pour tout n ∈ N, le quotient de la division euclidienne de (abn − 1) par bn+1 . PGCD et PPCM Exercice 9 [ 01195 ] [correction] Déterminer le pgcd et les coefficients de l’égalité de Bézout (1730-1783) des entiers a et b suivants : a) a = 33 et b = 24 b) a = 37 et b = 27 c) a = 270 et b = 105. Exercice 10 [ 01196 ] [correction] Soient a, b, d ∈ Z. Montrer l’équivalence : (∃u, v ∈ Z, au + bv = d) ⇔ pgcd(a, b) | d Exercice 11 [ 01197 ] [correction] Montrer

EXERCICE 3 (4 points ) Commun à tous les candidats 1) Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x. a) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, kn kk ≤ . n! k! b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, x xn ≤ n! k n × kk . k! c) Montrer que : xn = 0. n→+∞ n! lim 2) a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, nn−1 ≥ 1. n! nn−1 comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux à 1). n

de la suite. c) Comment modifier cet algorithme pour qu’il affiche tous les termes de u2 à un ? Variables I, N entiers naturels U réel Initialisation Lire N 1, 5 → U Traitement Pour I de 2 à N faire (I − 1)U + 1 →U 2I FinPour Afficher U 2) En s’inspirant de l’algorithme de la question 1), écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier n tel que un < 0, 001. Utiliser alors cet algoritme pour déterminer n. Exercice 3 Suite arithmético-géométrique

d´composants de Goldbach de 2a. Cette note e e pr´sente deux visions de la conjecture de Goldbach, une vision alg´brique et e e une vision g´om´trique, toutes deux bas´es sur l’´tude des restes modulaires e e e e des entiers selon des modules premiers. Les d´composants de Goldbach d’un e entier pair 2a sont les nombres premiers inf´rieurs ou ´gaux ` a solutions de e e a syst`mes de congruence g´n´ralis´s d´coulant de cette repr´sentation. Enfin, sera e e e e e e pr´sent´e une conjecture portant sur le partage

arbre un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves identiques et indépendantes. n Pour tout entier k, tel que 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté . k Ce nombre est appelé coefficient binomial. n 0 =1 Remarque/Notation : • se lit « k parmi n ». • Par convention, k 0 Propriété 3 : Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p, alors, pour tout entier k, tel n p k (1− p)n− k que 0 ≤ k ≤ n, p (X = k) = k () () () () Exemple : On a par exemple