Entier

une seule est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro da la question et la lettre correspondante à la réponse choisie. 1.) Soit n un entier naturel non nul tel que : ������������ ∧ (������������ × ������������ × ������) = 35 alors : a ������ ≡ ������[������] b ������ ≡ ������[������] c ������ ≡ ������[������] 2.) Soit n un entier relatif, pgcd(3n+2 ;3n+5) divise : a2 b 3 c 5 3.) L’équation (E) : 5x+18y = 25 , admet dans ℤ × ℤ : a zéro solution b Une seule

la propriété « le nombre 3 2n – 2n est divisible par 7 », où n est un nombre entier naturel. 1. a) Existe-t-il un nombre entier naturel n pour lequel cette propriété est vraie? Justifier. b) Quel est le reste de la division euclidienne de 32 par 7 ? 2. a) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 9(32n – 2n) + 7  2n = 32(n + 1) – 2n + 1 b) En utilisant l'égalité précédente démontrer que, si pour un certain entier naturel n, 32n – 2n est divisible par 7, alors 32(n + 1) – 2n + 1 est aussi divisible

les coefficients binomiaux, pour n et p entiers tels que p ≤ n : n n! p   = Cn = p !( n − p ) !  p Soit n un entier naturel , pour p ∈ 0, n , on note Ap = ( aij ) la matrice de M n − p +1 ( ℝ ) dont p+ − le coefficient de la ligne i et de la colonne j est aij = C p +ii+ 1j − 2 avec ( i, j ) ∈ 1, n − p + 1 2 On note d p = det ( Ap ) 1. Calculer les coefficients a1,1 , a1,n − p +1 , an − p +1,1 et an − p +1,n − p +1 2. Calculer pour tout entier n les déterminants d n , d n −1 et d n

du code. Un code à barres est symbolisé par le tableau : R C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 5 points 4 018474 332 18 9 R est la clé du code et C1 , C2 , . . . , C12 sont les chiffres du code. R, C1 , C2 , . . . , C12 sont donc des entiers comris entre 0 et 9. Les chiffres de rang impair (C1 , C3 , ..., C11 ) sont dans les cases grisées, ceux de rang pair dans les cases blanches. La clé R est calculée de telle sorte que la relation suivante soit vérifiée : 3×(somme des chiffres de rang

géométriques, préciser le premier terme et la raison. 1) un+1 = un + 1 et u0 = -5 2) un = n – 5 1 3) un = n 3 52n+1 4) un = 2× 3(n+1) 7 Exercice 2 : étude d'une suite du type un+1 = a×un + b × Soit la suite (un) définie par u1 = 2 et, pour tout entier n de un+1 = 3un – 2. On considère la suite (vn) définie sur V* par vn = un + α (avec α ∈ Y). 1) Déterminer α pour que (vn) soit une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. 2) Ecrire vn, puis un en fonction de n

corrigé ECRICOME 2005 Option Economiquepar Pierre Veuillez 1 EXERCICE On considère, pour tout entier naturel n, l’application 'n dé…nie sur R par : 8x 2 R; x)n e 'n (x) = (1 ainsi que l’intégrale : In = Z 2x 1 'n (x) dx 0 On se propose de démontrer l’existence de trois réels, a, b, c tels que : In = a + b c 1 + 2 + 2 " (n) n n n avec lim " (n) = 0 n!+1 'n étant continue, l’intégrale est bien dé…nie. R1 R1 1 1 e 2x 0 = 21 e 2 + 1 1. On a I0 = 0 '0 (x) dx = 0 e 2x dx = 2 R1 R1 et I1

Comportement global d'une suite Monotonie d'une suite Dénition 1 • On dit qu'une suite (un )n∈N est croissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 ≥ un • On dit qu'une suite (un ) est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 < un • On dit que la suite u est constante si et seulement si pour tout entier n ∈ N, un+1 = un • Une suite est dite monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. Remarque : pour étudier le sens de variation d'une suite

1 : Les ensembles de nombres Quelques définitions 1. Nombres entiers naturels Les nombres entiers naturels sont les nombres qui n'ont pas de virgule et qui sont positifs. , L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ 2. Nombres entiers Les nombres entiers sont les nombres qui peuvent s'écrire sans virgule qu'ils soient positifs ou négatifs. L'ensemble des nombres entiers est noté ℤ . Donc tout nombre entier naturel est un entier. 3. Nombres décimaux Les nombres décimaux sont les nombres qui

soit ´quilat´ral de sens direct e e e exercice 2 : (5 points) pour tout entier n strictement positif, on consid`re la fonction fn d´finie sur e e (ln x)n e ]0; +∞[ par fn (x) = et l’int´grale In = 1 fn (x)dx e x2 1 + ln x 1) on pose F (x) = . Calculer F (x). en d´duire I1 . e x 1 2) en utilisant une int´gration par parties montrer que: In+1 = − +(n+1)In e e 3) en utilisant la question 2) , montrer par r´currence que,pour tout entier e 1 1 1 1 1 n strictement positif, on a: In = 1 − (1 + + + .... + ) n

quelle valeur de θ cette somme est minimum et calculer la valeur de ce minimum. Exercice 3   On considère deux suites (réelles ou complexes) (an )n 0 et (bn )n 0 , an+1 = 2an + bn  4 définies par la donnée de a0 et b0 , et, pour tout entier naturel n, par les relations  a + 2bn b  n+1 = n Montrer que ces deux suites convergent et calculer leur limite. 4 Indication : utiliser deux suites auxiliaires (sn )n 0 et (dn )n 0 . Exercice 4 Dans le plan P rapporté à un repère orthonormal