Epreuve E3a

de Bernoulli. Loi binomiale. Ici il faut faire un (grand) effort de rédaction : 1ère étape : On interroge un élève au hasard et on appelle « Succès » l'événement S = « l'élève fait le choix de vivre en colocation ». P(S) = P(C) = 0,33. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,33. [ p est égale à la probabilité du succès]. FicheBacES05 – Proba. conditionnelles © Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy www.logamaths.fr Page 3/4 [ Rappel de cours : pour obtenir et appliquer

0  1  n nombre de parties d’un ensemble ayant n éléments. 2. Lois discrètes • Loi de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli a seulement deux issues contraires A et A de probabilités respectives p et q = 1 – p. Le schéma de Bernoulli est la répétition n fois et de façons identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli. La probabilité d’obtenir k réalisations de A sur n épreuves est donnée par la n p k avec p k =   p k q n – k . loi de Bernoulli : k  k Remarque : p=0 ∑p q n

Synthèse de cours (Terminale ES) Æ Loi de probabilité discrète Loi de probabilité discrète Définition On considère un ensemble { x1 , x2 ,..., xn } de n valeurs réelles. Définir une loi de probabilité discrète sur cet ensemble c’est associer à chacune des valeurs xi n une probabilité pi de telle sorte que l’on ait : ∑p i =1 i =1. La loi de probabilité est alors parfaitement définie par la donnée du tableau suivant : xi x1 x2 … xn pi pi p2 … pn

- Loi binomiale : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui admet exactement deux issues : S ¯ (succès) de probabilité p et S (échec) de probabilité q telle que q = 1 p Dans une épreuve de Bernoulli, on note Y la variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque S est réalisé et la valeur 0 en cas d’échec. On dit que Y suit une loi de Bernoulli de paramètre p On appelle schéma de Bernoulli d’ordre n l’expérience aléatoire qui est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques

un joueur peut espérer gagner € en moyenne par partie. 2. Loi binomiale : Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues et deux seulement, appelée succès de probabilité et échec de probabilité . Lors de la répétition de épreuves de Bernoulli, de façon identique et indépendante, on définit la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès lors des épreuves. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres et

Loi binomiale : révisions Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues contraires : l’une appelée SUCCES (de probabilité p) est notée S, l’autre appelée ECHEC (de probabilité q = 1 − p) est notée S . Exemple : Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme SUCCES le fait de tirer une boule rouge. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : « Tirer une boule

I) Épreuve de Bernoulli Définition 1 : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire n'admettant que deux issues, • l'une appelée « succès », notée S, dont la probabilité d'apparition est p • l'autre appelée « échec », notée E ou ̄ S , dont la probabilité est 1 – p . Exemple : On lance un dé cubique équilibré et on s'intéresse à l'apparition de S : « obtenir un 6 ». 1 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p= . 6 Propriété 1 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre

Loi normale ou loi de Gauss Familles de loi de probabilité continues, définies sur l’ensemble des réels, complètement caractérisées par leur espérance et leur variance De distribution symétrique autour de leur espérance x ~ N (µ ,σ 2 ) f ( x) =  ( x − µ )2   exp −  2σ 2  2πσ   1 2 Exemples de lois normales Fonction de répartition Pas calculable analytiquement Calcul numérique La loi normale centrée réduite Loi normale d’espérance nulle et de variance 1 u ~ N (0,1) f (u )

Correction exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 1) Le forage conduit à une nappe de pétrole avec une probabilité 0,1 ou pas avec une probabilité 0,9. C’est donc bien une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1. Il a bien que deux issues possibles. 2) a. Les forages doivent être indépendants pour que  suive une loi binomiale. b.  ≥ 1 = 1 −  = 0 = 1 − 0,9! ≈ 0,613 Exercice 2 On considère que le tirage de 1000 résistances a lieu avec remise et

dé à six faces 4 fois de suite. On considère les issues suivantes : A : On obtient un nombre pair. B : On obtient un 1. C : On obtient un 3 ou un 5. La probabilité d'obtenir la suite d'issues (A ; B ; A ; C) est égale à : . II. Epreuve de Bernoulli Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues que l'on peut nommer "succès" ou "échec". Remarque : Au succès, on peut associer le nombre 1 et à l'échec, on peut associer le nombre 0. Exemples : 1) Le jeu du pile ou