Équation cartésienne

y ;e z  un repère cartésien lié à un référentiel que l’on note R. 1 - Définir les coordonnées cartésiennes (x, y, z) et les coordonnées cylindriques (ρ, φ, z) d’un point M. Quel est l’intérêt des coordonnées cylindriques ? Définir les coordonnées polaires. Donner les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques. 2 - Définir une base locale. Exemple : définir la base locale cylindrique O ,e  ;e  ;e z  . Calculer les composantes cartésiennes des vecteurs de la base

exponentielle des nombres complexes. 2.9.1. Définition Soit 2.9.2. Application . . Par suite on peut redéfinir les opérations sur les nombres complexes exponentiels : Si = alors ou encore ; . Etc. 2.10. Equation et système d’équation dans C. 2.10.1. Résolution de l’équation L’équation se nomme équation du binôme du second degré. C et l’inconnu est z. Posons . L’équation s’écrit : Ce qui équivaut au système réel : (S) toute solution de (S) est solution du système suivant : (S’) , telle que a le se signe

puissances croissantes 66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30 Applications linéaires 68 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . .

constante, on dira qu’il est rectiligne et uniforme. • Si un mvt rectiligne se fait à accélération constante, on dira qu’il est rectiligne et uniformément varié. B-Mouvement bidimensionnel (ou plan) Vecteurs à 2 Dimensions Coordonnées cartésiennes (x,y) → Axe des y r = x i + y j = OM : vecteur position r = r er → → → → → → x : abscisse et y : ordonnée → y M r ≡r = r er = = r →  r → r = x x2 + y2 → → r → x2 + y2 i+ y x2 + y2

Applications : linéarisation, transformation de somme en produit, calcul de cos(nx), sin(nx), k=0 n cos(kx) et k=0 sin(kx). C) Racines des nombres complexes 1 - Racines n-ièmes de l’unité, propriétés élémentaires de ces racines, équation z n = a. 2 - Équation du second degré dans C, relations entre coefficients et racines. 3. Techniques de calcul des primitives 0 - Dérivation des fonctions à valeurs complexes cas de t → e αt et de t → e ϕ(t) . 1- Rappel du théorème fondamentale. Fonctions de

= m x + p Propriété : Dans le plan muni d'un repère, le vecteur ⃗ m III.Équations cartésienne d'une droite Propriété : Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme a x + b y + c = 0 avec (a ; b)≠(0 ; 0) . Un vecteur directeur de cette droite est ⃗ u (−b ) a Démonstration : Définition : On appelle cette équation, l'équation cartésienne de d. Propriété : Dans un repère du plan, toute équation de la forme a x + b y + c = 0 ( (a ;b)≠(0 ;0) ) est l'équation u (−b ) . d'une droite

Propriété : p représente la distance FM lorsque FM est parallèle à D. 2°- Equation polaire y H r H0 F D θ x M H0 F M D p , p étant le paramètre de e On place le foyer à l'origine d'un système de coordonnées polaires (Fx orthogonal à D):  FM = r  θ = ( Fx, FM ) Coniques 95 De FM = e ⋅ HM et HM = H0 F + r cosθ = p + r cosθ , on tire : e p p  r = e ⋅  + r cosθ que l’on écrit : r = équation polaire de la e  1 − e cosθ conique avec origine au foyer. Remarquons que

Chapitre 4 : Cinématique en cordonnées cartésiennes CHAPITRE 4 Cinématique en coordonnées cartésiennes I. Rappels et approfondissements 1) Cadre de l’étude Définition d’un système On appelle système la partie de l’Univers dont on va étudier le mouvement. Le reste de l’Univers est appelé extérieur. Définition d’un référentiel Un référentiel est constitué d’un solide de référence par rapport auquel on repère les positions du système et d’une horloge permettant de dater chaque position. Avant

produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Droites et plans dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . 4.5.1 Equation du plan passant par un point P0 et ayant . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . 49 49 50 52 52 54 55 58 59 61 61 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices - Coniques : corrigé Équations des coniques Exercice 1 - Réduction de l’équation d’une conique - L2/Math Sup 1. Le discriminant de cette conique est −3. Elle est donc du genre ellipse. On commence par tourner le repère. Pour cela, on remarque que les coefficients devant x2 et y 2 sont égaux. On en déduit que le changement de repère approprié est celui obtenu par une rotation d’angle π/4, soit en posant : x = y = 2 2 X √ 2 2 X √ √ − + 2 2 Y √ 2 2 Y. En remplaçant dans l’équation