Équation différentielle

d’un premier essai, le solide est lancé du point G, à la date t = 0, avec une vitesse V0 faisant un r r -1 angle α = 45° avec l’horizontale, de valeur V 0 = 8 m.s et appartenant au plan vertical défini par ( i , k ). 3.1.1 Etablir les équations paramétriques du mouvement du solide. En déduire l’équation cartésienne de sa trajectoire. (01 pt) 3.1.2 Le solide passe-t-il au dessus de la corde ? Justifier la réponse. (0,75 pt) 3.1.3 Au cas où le solide passe au-dessus de la corde, quelle

: une maille est une partis de circuit qui est fermée : +u +uR-E=0 donc E= u+uR Aux bornes du condensateur : q=c.u d'où u= q/c loi d'Ohm : uR=R.i or i=dq/dt= d(c.u)/dt = c.(du/dt)_ uR=RC. (du/dt) Conclusion : E=u+uR devient E=u+RC.(du/dt) équation différencielle du 1er ordre qui a une solution du type : u= A+B.e-t/q Determination de A et B ( exercice type I) utilisation des conditions aux limites : -Lorsque t=0 : u= 0 ( le condensateur n'est pas chargé) donc : A+B.e-t/q = 0

biens? -dx= variation de la quantité consommée du bien X -dy = ‘’ du bien Y Nous savons que les utilités des 2 biens sont définis par les ratios suivant : δUt/δ x et δUt/δ y dUt= δUt/δX dx + δUt/δY dy Cette formule s’appelle la différentielle totale de la fonction d’utilité. Elle donne le montant de la variation. d)L’équilibre du consommateur. 1)Aspect théorique Supposons que le consommateur dispose d’un revenu R, qu’il va répartir en achetant des biens X et Y. P=prix unitaire

B. Jouvencel 1/5 Systèmes non linéaires Définition d’un système non linéaire ˙ Soit un système régi par une équation différentielle : x = f (x,u) n m x R , u R , où f est une fonction non linéaire. -1- ˙ Système libre : la commande n’intervient pas x = f (x) , l’évolution du système se fait à partir de conditions initiales. ˙ Solution de l’équation -1- y(t) est dit solution de -1- si y(t) vérifie y = f (y,u) Trajectoire Soit x(t ) avec x R n , une solution qui vérifie l’équation -1-

............................................................................ 5 2.1. Discrétisation des équations et maillage...................................................................................... 5 2.1.1. Maillage ................................................................................................................................. 5 2.1.1. Discrétisation des équations ................................................................................................. 5 2.2

(cosinus directeurs partiels) dXr=dXn(0)dYn(0)dZn(0)=dφ(0)˄Xn(0)dZn(0)˄dXn(0)dφ(0)˄Zn(0) But : détermine la vitesse des qi en fonction de la vitesse de l’OT (dX) Modèle Différentiel Inverse 5 8 Bon courage ! 3. Calcul de δ δ=IdPp+1,p(p)0Id.dp(p)dφ(p) 4. Calcul de dq Il faut résoudre δ=Jp+1,p(p).dq système de 6 équations à n inconnues Si rangJp+1(p)=rangJp+1(p)⋮δ alors le système est compatible et donc dq=Jp+1,p(p)+.δ+Id-Jp+1,p(p)+.Jp+1,p(p).z Où A+ est la matrice pseudo inverse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Opérations et conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Équation du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II I II Le raisonnement par récurrence Principe du raisonnement par récurrence

Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫ e−t² dt √π 0 (φ(b) − φ(0). 2 Montrer que f(x) = ex ,est solution de l’équation différentielle y ′ = 2xy + 2 √π Exercice 5 : Soient ? et ? deux fonction continues sur [?, ?] ⊂ ℝ est dérivable sur ]?, ?[ . 1) Montrer qu’il existe ? ∈ ]?, ?[ tel que ? ′ (?)(?(?) − ?(?)) = ?′ (?)(?(?) − ?(?)) Aide : Considérer ℎ(?) = ?(?)(?(?) − ?(?)) −

de transition Soit {P(t), t ≥ 0} la famille de matrices décrivant les lois d’évolution d’une chaîne de Markov à temps continu, alors chaque matrice P(t) est une matrice stochastique: pij (t) ≥ 0, ∀t ≥ 0 pij (t) = 1, ∀i ∈ E , ∀t ≥ 0 j∈E les équations de Chapman-Kolmogorov sont vérifiées: pij (t + s) = k∈E pik (t)pkj (s), t, s ≥ 0, i, j ∈ E soit en notation matricielle, P(t + s) = P(t)P(s) Abdeslam Kadrani, INSEA–Rabat Processus Stochastique Les chaînes régulières et l’hypothèse

puissances croissantes 66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30 Applications linéaires 68 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . .