Équation différentielle

: Etude de la variation de la période T du pendule simple en fonction de la longueur du fil L et du déplacement angulaire θ et ainsi déterminer l’accélération de la pesanteur g II) Préparation de la manipulation : 1-Démonstration de la loi différentielle qui régit un système de pendule simple : On considère le système pendule simple –terre comme étant isolé,donc l’énergie mécanique Em est constante Em=Ep+Ec Em=mgh+1/2 J()² Avec J d’un pendule simple J=Ml² H=l-H’=l-l cos =>H=L(1-cos )

pouvons déduire l’équation différentielle régissant la position de la masse le long du plan incliné. C’est à partir de l’équation (1) que nous allons tenté de résoudre l’équation différentielle. Nous savons que m.a=-k.x+m.g.sinθ Comme l’accélération est la dérivée seconde de la position x par rapport au temps nous pouvons alors amener cette équation à : d2xdt2=-km.x+g.sinθ Cette solution n’est pas homogène, pour la résoudre, nous devons ramener cette équation en une solution homogène

soit une transformation telle que M(z) " M'(z') Translation de vecteur u d'affixe t : z' = z + t ! Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω) ! Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω = e i" (z- ω) EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C C ! Soit l'équation az 2 + bz + c = 0 et le discriminant " = b 2 # 4ac c "b "b + # "b " # si Δ > 0 alors 2 solutions réelles z1 = et z1z2 = ; z1 + z2 = ; z2 = a a 2a 2a ! ! b si Δ = 0 alors 1 solution réelle

Chapitre 9 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 9.1 Equations diff´ erentielles lin´ eaires du premier ordre 9.1.1 Pr´ esentation du probl` eme Nous nous int´eressons `a la r´esolution des ´equations de la forme y + a(x)y = b(x). Dans cette ´equation, a et b sont des fonctions de x, d´efinies et continues sur un intervalle ouvert I de R. Par exemple y + y sin x = 2 sin x sur R. On cherche une fonction y de x, d´efinie et continˆ ument d´erivable sur I, qui v´erifie l’´egalit´e ci-dessus

dynamique des systèmes en rotation : Σ moments (forces)=I. θ″=-m.g.l.sin θ (La projection de la force T sur la tangente a la trajectoire de m étant nulle) avec I=moment d’inerte du système =m.l² dans ce cas. D’où : θ″+ω². θ =0 Equation différentiel du mouvement oscillatoire harmonique avec : ω²=g/l et T=(2∏/ω) III. Travaille à effectuer: III.1.Travaille Théorique: Iθ″=-m.g.l.θ g=- (Iθ″)/(m.l.θ) g= (ml²ω²θ)/(m.l.θ) g=lω²

. . . .. L’atmosphère standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Altitude et vitesse de l’avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vol en palier horizontal stabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Équations d’équilibre — Conséquences immédiates . . . . . .. Poussée requise, limitations — calcul des performances pour un avion à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Puissance requise — calcul des performances pour un avion

nuls, la matrice est inversible : La puissance -ième d'une matrice diagonale est : Voici deux systèmes linéaires d'équations. Voici deux systèmes linéaires d'équations de récurrence. Voici deux systèmes linéaires d'équations différentielles. Les trois problèmes, de natures très différentes, ont en commun leur écriture matricielle, avec les deux matrices suivantes. Tous les problèmes linéaires sont plus faciles à résoudre quand la matrice est diagonale ! Il se trouve que

grandeurs d'entrée et les grandeurs de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles linéaires à coefficients constants (si le système n'est pas rigoureusement linéaire, on arrive tout de même souvent à le linéariser autour d'un point de fonctionnement…). I.2. Transformée de Laplace: La transformée de Laplace permet de remplacer les équations différentielles qui relient les grandeurs caractéristiques de nos systèmes par des relations à base de fractions rationnelles

au hasard et avec remise. Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9. Problème (10 points) Commun à tous les candidats Partie A : Une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) y − 3y = −3e . (1 + e−3x )2 On donne une fonction ϕ dérivable sur R et la fonction f définie sur R par f (x) = e−3x ϕ(x). 1. Montrer que f est dérivable sur R et pour tout réel x, exprimer ϕ (x) − 3ϕ(x) en fonction

. . . . . . . . . B Résolution du problème de Hencky C Modèle du transducteur : approche différentielle C.1 Équation du mouvement du fluide dans la cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C.2.1 Condition aux limites dans la cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C.2.2 Équation de la membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 C.3 Résolution