Espace euclidien

2ème Sciences CH4 –Géométrie : Homothétie Novembre 2009 A. LAATAOUI Définition : Introduction : Soit I un point du plan et M ¹ I. Construire M’ dans chacun des cas suivants : IM ' = 2 IM uuur uur IM ' = uuur 1 uur IM 3 uuur 3 uur IM ' = - IM 4 Définition : Etant donnés un point I et un réel non nul k. On appelle homothétie de centre I et de rapport k, toute application h : P ® P, M a M ' telle que : uuur uuu r IM ' = k I M . uuur uuu r On note h( I ,k ) ( M ) = M

droite il passe une et une seule parallèle à cette droite » Euclide s'est aussi intéressé à l'arithmétique dans le livre 7. En particulier, il effectue des soustractions successives répétées, prémonition de ce que l'on appelle aujourd'hui division euclidienne et un algorithme qui s'effectue précisément par soustractions successives, le plus petit du plus grand, pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres connu sous le nom d'algorithme d'Euclide. ŒUVRES D’EUCLIDE : Les Elements

Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma Ann´e : 2005-2006 e 1 TABLE DES MATIERES 1 Polynˆmes o 1.1 Pr´sentation des polynˆmes . . . . . . . . e o 1.2 Lois sur k[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . 1.4 Z´ros d’un poynˆme . . . . . . . . . . . . e o 1.5 Polynˆme d´riv´ . . . . . . . . . . . . . . o e e 1.6 Formules de Mac-Laurin et de Taylor . . . 1.7 Ordre de multiplicit´ d’une racine . . . . . e 1.8 Th´or`me de d’Alembert

= deg(P) + deg(Q) . Si les coefficients ne sont pas réels, on peut ne pas avoir l'égalité deg(PQ) = deg(P) + deg(Q) Dans  4 , considérer P = 2 X et Q = 2 X (deg(P) = deg(Q) = 1) PQ = 2 X ´ 2 X = 4 X = 0 , donc deg(PQ) = -¥ 2 2. Division euclidienne d'un polynôme A par un polynôme B (non nul) Dans ce paragraphe, les polynômes considérés sont à coefficients réels (ou dans un corps commutatif ). On rappelle que dans ce cas, si A et B sont des polynômes non nuls, on a : deg(AB) = deg(A) + deg(B)

différences de nombres entiers ou décimaux, par un calcul écrit en ligne ou posé en colonnes 5.3 127 à 129 Calculer le produit de deux entiers ou le produit d’un décimal par un entier 5.4 130 à 132 Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier 5.5 133 à 136 Connaître les tables d’addition et de multiplication 5.6 137 à 140 Multiplier ou diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000 5.7 141 à 144 Multiplier ou diviser un nombre entier ou

8 ACTIVITÉS Activité 1 sont parallèles. CHAPITRE Géométrie dans l’espace (page 167) c) Les droites (EF) et (HG) sont parallèles à (AB). 1 (AB) et (BF) sont dans le plan de la face (ABFE) donc elles sont coplanaires. Il en est de même pour les droites (AC) et (AD) toutes les deux contenues dans le plan (ABC) et pour les droites (HF) et (HE) dans le plan (EFG). Remarque : elles sont deux à deux sécantes… Activité 2 c) Certaines arêtes peuvent être « cachées », au maximum trois lorsqu’un

Séquence 1 1ère partie : Deux nouvelles fonctions 2e partie : Géométrie plane 3e partie : Un peu de logique Séquence 1 – MA12 7 ère 1 partie Deux nouvelles fonctions Sommaire 1. Pré-requis p.9 2. La fonction racine carrée p.16 3. La fonction valeur absolue p.21 4. Synthèse de la partie 1 de la séquence p.28 5. Exercices d’approfondissement p.30 8 Séquence 1 – MA12 1 Pré-requis A Ordre dans R Propriétés Soient trois réels a, b et c. Si a ≤ b , alors a +

) Soit n un entier relatif, pgcd(3n+2 ;3n+5) divise : a2 b 3 c 5 3.) L’équation (E) : 5x+18y = 25 , admet dans ℤ × ℤ : a zéro solution b Une seule solution c une infinité de solution 4.) Le reste de la division euclidienne de -21 par - 5 est : a -3 b 2 c 3  Exercice 2 : On considère la matrice A telle que : A= ������ 1.)a. Calculer det(A). b. En déduire que A est inversible. 2.) Montrer que ������−������ = ������ ������ ������ ������

Fiche Cours Nº : 32011 MATHEMATIQUES Série S Fiche 11 : Arithmétique Plan de la fiche I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs II - Division euclidienne III - Congruence modulo n (n entier au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs

2 + 2 d) 1024 = (2 ) 1024 = 212 10 10 9 f) 1024 = (0,5) × 4 g) 1024 = Le double de 2 10 2 11 h) 1024 = La moitié de 2 MA 1 2) Si M est le point du segment [ AB ] tel que = alors M est le milieu de [ AB ] . MB 2 e) 3) Le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b est un multiple du pgcd(a,b). 4) n + 1 − n et Exercice n°4 1) Soit n + 1 + n sont inverses. E = ( 3 + 1)−2 + ( 3 − 1)−2 . Montrer que E est un entier. 3−4 + 6−4 2 −4 + 4 −4 = = 16 6 −4 + 12−4 4 −4 + 8−4 2)